(IPPEC) - QUESTÃO

Uma pirâmide quadrangular regular de 12 metros de altura tem o seu volume igual a 400 m³. Determine o valor da sua área superficial total.

Ⓐ 520 m²

Ⓑ 360 m²

Ⓒ 340 m²

Ⓓ 260 m²

Ⓔ 240 m²

Vamos resolver esse problema em duas partes:

1. Cálculo da área da base da pirâmide

Sabemos que o volume de uma pirâmide quadrangular é dado pela fórmula:

$$V = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h$$

onde:

• $V$ é o volume da pirâmide,

• $A_{\text{base}}$ é a área da base,

• $h$ é a altura da pirâmide.

Neste caso, o volume $V = 400 \, \text{m}^3$ e a altura $h = 12 \, \text{m}$. Substituindo esses valores na fórmula:

$$400 = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times 12$$

Multiplicando ambos os lados por 3:

$$1200 = A_{\text{base}} \times 12$$

Dividindo por 12:

$$A_{\text{base}} = \frac{1200}{12} = 100 \, \text{m}^2$$

Então, a área da base é $A_{\text{base}} = 100 \, \text{m}^2$.

2. Cálculo da área superficial total

A área superficial total de uma pirâmide é a soma da área da base e da área das faces laterais. Para calcular a área das faces laterais, precisamos conhecer a área de um triângulo que forma cada face.

Sabemos que a pirâmide tem uma base quadrada, então o lado da base $L$ pode ser obtido a partir da área da base:

$$A_{\text{base}} = L^2$$

Logo:

$$L^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad L = \sqrt{100} = 10 \, \text{m}$$

Agora, para calcular a área lateral, precisamos da apótema da pirâmide ($a$), que é a altura do triângulo lateral. Para encontrar a apótema, usamos o teorema de Pitágoras. O triângulo formado pela altura da pirâmide, metade do lado da base e a apótema é um triângulo retângulo. A metade do lado da base é $\frac{L}{2} = 5 \, \text{m}$.

A fórmula do teorema de Pitágoras é:

$$a^2 = h^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2$$

Substituindo os valores:

$$a^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$

Logo:

$$a = \sqrt{169} = 13 \, \text{m}$$

Agora podemos calcular a área lateral. A área lateral de uma pirâmide quadrangular é dada por:

$$A_{\text{lateral}} = \frac{1}{2} \times \text{perímetro da base} \times a$$

O perímetro da base é $4L = 4 \times 10 = 40 \, \text{m}$. Então:

$$A_{\text{lateral}} = \frac{1}{2} \times 40 \times 13 = 260 \, \text{m}^2$$

3. Área superficial total

Agora, a área superficial total é a soma da área da base e da área lateral:

$$A_{\text{superficial}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = 100 + 260 = 360 \, \text{m}^2$$