(UEPB) - QUESTÃO

Uma pirâmide regular de base quadrada com h cm de altura é seccionada por um plano paralelo à base, determinando dois sólidos: uma pirâmide menor e um tronco de pirâmide. O volume do tronco de pirâmide é sete vezes o volume da pirâmide menor. Pode-se afirmar que a altura do tronco é:

Ⓐ h/5 cm

Ⓑ h/3 cm

Ⓒ h/6 cm

Ⓓ h/4 cm

Ⓔ h/2 cm

Para resolver esse problema, vamos usar a relação entre os volumes da pirâmide original e do tronco de pirâmide.

Passo 1: Definindo as variáveis

Seja:

• $V_{\text{pirâmide original}}$: o volume da pirâmide original,

• $V_{\text{pirâmide menor}}$: o volume da pirâmide menor,

• $V_{\text{tronco}}$ : o volume do tronco de pirâmide.

De acordo com o enunciado, o volume do tronco de pirâmide é sete vezes o volume da pirâmide menor, ou seja:

$$V_{\text{tronco}} = 7 \times V_{\text{pirâmide menor}}$$

Como o volume da pirâmide é proporcional ao cubo da altura, podemos relacionar os volumes das pirâmides original e menor usando as alturas.

Passo 2: Fórmulas para o volume de pirâmides

O volume de uma pirâmide é dado pela fórmula:

$$V = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h$$

onde $A_{\text{base}}$ é a área da base e $h$ é a altura.

No caso de uma pirâmide de base quadrada, a área da base é proporcional ao quadrado da medida do lado da base.

Passo 3: Relação entre as pirâmides

Se a pirâmide menor tem uma altura $h_{\text{menor}}$ e a pirâmide original tem altura $h$, a razão entre as alturas da pirâmide menor e da pirâmide original é $\frac{h_{\text{menor}}}{h}$.

Os volumes das pirâmides são proporcionais ao cubo das alturas, logo:

$$\frac{V_{\text{pirâmide menor}}}{V_{\text{pirâmide original}}} = \left( \frac{h_{\text{menor}}}{h} \right)^3$$

Seja a razão entre as alturas das pirâmides $\frac{h_{\text{menor}}}{h} = k$, então:

$$\frac{V_{\text{pirâmide menor}}}{V_{\text{pirâmide original}}} = k^3$$

A pirâmide menor é uma parte da pirâmide original. Assim, o volume da pirâmide menor é $k^3 \times V_{\text{pirâmide original}}$, e o volume do tronco de pirâmide é a diferença entre o volume da pirâmide original e o volume da pirâmide menor:

$$V_{\text{tronco}} = V_{\text{pirâmide original}} - V_{\text{pirâmide menor}} = V_{\text{pirâmide original}}(1 - k^3)$$

Passo 4: Usando a relação do volume do tronco

Sabemos que o volume do tronco é sete vezes o volume da pirâmide menor:

$$V_{\text{tronco}} = 7 \times V_{\text{pirâmide menor}} = 7 \times k^3 \times V_{\text{pirâmide original}}$$

Então, podemos escrever:

$$V_{\text{pirâmide original}}(1 - k^3) = 7 \times k^3 \times V_{\text{pirâmide original}}$$

Cancelando $V_{\text{pirâmide original}}$ de ambos os lados, temos:

$$1 - k^3 = 7 \times k^3$$
$$1 = 8 \times k^3$$
$$k^3 = \frac{1}{8}$$ $$k = \frac{1}{2}$$

Passo 5: Calculando a altura do tronco

A altura da pirâmide menor é $k \times h = \frac{1}{2} \times h$, ou seja, $h_{\text{menor}} = \frac{h}{2}$.

Logo, a altura do tronco é a diferença entre a altura da pirâmide original e a altura da pirâmide menor:

$$h_{\text{tronco}}=h-h_{\text{menor}}=h-\frac{h}{2}=\frac{h}{2}$$