(ESA 2025 - CFGS 2026 – 27) - QUESTÃO

Observe a equação real abaixо:

Sobre a equação supracitada, pode-se afirmar que:

Ⓐ Seu conjunto solução só possui uma raiz real irracional.

Ⓑ Seu conjunto solução possui exatamente três raizes reais.

Ⓒ Seu conjunto solução possui duas raízes reais, uma racional e a outra irracional.

Ⓓ A soma de suas raizes produz um número real e racional.

Ⓔ Seu conjunto solução é o conjunto vazio.

Vamos resolver a equação:

$$\log_2(x + 5) + \frac{1}{2} \log_2(x + 8) = \frac{1}{2}$$

1. Domínio da equação

Para que a equação faça sentido, os logaritmos devem ter argumentos positivos:

• $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$
  

• $x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8$
  

Logo, o domínio é:

$$x > -5$$

2. Usando propriedades dos logaritmos

Use a propriedade:

$$a \log_b(M) = \log_b(M^a)$$

Aplicando na equação:

$$\log_2(x + 5) + \log_2((x + 8)^{1/2}) = \frac{1}{2}$$ $$\log_2(x + 5) + \log_2\left(\sqrt{x + 8}\right) = \frac{1}{2}$$

Agora, use:

$$\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B)$$
$$\log_2\left((x + 5) \cdot \sqrt{x + 8}\right) = \frac{1}{2}$$

3. Eliminar o logaritmo

A equação fica:

$$\log_2\left((x + 5)\sqrt{x + 8}\right) = \frac{1}{2}$$

Transformando para forma exponencial:

$$(x + 5)\sqrt{x + 8} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$$

4. Resolver a equação

Temos:

$$(x + 5)\sqrt{x + 8} = \sqrt{2}$$

Eleve os dois lados ao quadrado:

$$[(x + 5)\sqrt{x + 8}]^2 = (\sqrt{2})^2$$
$$(x + 5)^2 (x + 8) = 2$$

5. Expandir e simplificar

$$(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$$

Multiplicando:

$$(x^2 + 10x + 25)(x + 8) = 2$$

Multiplicando termo a termo:

$$x^3 + 10x^2 + 25x + 8x^2 + 80x + 200 = 2$$
$$x^3 + 18x^2 + 105x + 200 = 2$$

Passa o 2 pro lado esquerdo:

$$x^3 + 18x^2 + 105x + 198 = 0$$

6. Resolvendo a equação acima temos:

$$x^3 + 18x^2 + 105x + 198 = 0$$

Tente possíveis divisores de 198:

$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm11, \pm18, \pm33, \pm66, \pm99, \pm198$

Testando $x = -3$:

$$(-3)^3 + 18(-3)^2 + 105(-3) + 198 = -27 + 162 - 315 + 198 = 18 \neq 0$$

Testando $x = -6$:

$$(-6)^3 + 18(-6)^2 + 105(-6) + 198 = -216 + 648 - 630 + 198 = 0$$

- Raiz encontrada: $x = -6$

Vamos fazer divisão polinomial ou Briot-Ruffini para fatorar:

7. Fatorando o polinômio

Sabemos que $x = -6$ é raiz. Vamos dividir o polinômio por $x + 6$:

Dividindo:

$$x^3 + 18x^2 + 105x + 198 = (x + 6)(x^2 + 12x + 33)$$

Agora, resolvemos:

$$x^2 + 12x + 33 = 0$$

Use Bhaskara:

$$x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 132}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{12}}{2}$$ $$x = \frac{-12 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -6 \pm \sqrt{3}$$

8. Verificar se as raízes pertencem ao domínio

Domínio: $x > -5$

As raízes são:

• $x_1 = -6$  (fora do domínio)

• $x_2 = -6 + \sqrt{3} \approx -6 + 1.73 = -4.27$ ✅

• $x_3 = -6 - \sqrt{3} \approx -6 - 1.73 = -7.73$ ❌

- Conclusão

A única raiz válida (isto é, que satisfaz o domínio) é:

$$x = -6 + \sqrt{3}$$

Que é uma única raiz real e irracional.