(FUNDEP) - QUESTÃO

Uma esfera de raio  √3  cm está inscrita em um prisma hexagonal regular reto. Qual é o volume do prisma, em cm³?

Ⓐ 12

Ⓑ 24

Ⓑ 36

Ⓓ 48

Ⓔ 52

Temos uma esfera inscrita em um prisma hexagonal regular reto, com raio $r = \sqrt{3}$

Vamos entender passo a passo o que isso significa e como encontrar o volume do prisma.

- Interpretar o problema

Uma esfera inscrita em um prisma significa que a esfera toca todas as faces laterais e as bases do prisma. Ou seja:

• O diâmetro da esfera é igual à altura do prisma.

• O raio da esfera é igual ao raio do círculo inscrito na base hexagonal regular.

- Dados

• Raio da esfera: $r = \sqrt{3}$ cm

• Diâmetro da esfera (altura do prisma):

  $$h = 2r = 2\sqrt{3}$$

- Área da base do prisma (hexágono regular)

A área de um hexágono regular de lado $a$ pode ser dada por:

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

Mas neste caso, não temos o lado do hexágono, e sim o raio da circunferência inscrita.

Relação entre o raio da circunferência inscrita $r$ e o lado $a$:

Para um hexágono regular:

$$r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$

Substituindo $r = \sqrt{3}$:

$$\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 2$$

- Calcular a área da base

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$$

- Volume do prisma

$$V=\acute{\text{A}}\text{rea da base}\times \text{Altura}=6\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=6\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=12\cdot 3=\boxed{{\displaystyle 36}}{\text{ cm}}^3$$