(VUNESP) - QUESTÃO

A função f(t) = − t² + 6t relaciona a altura (em metros) de uma bola lançada pela catapulta I, em função do tempo t (em segundos) que a bola fica no ar. A função g (t) = − t² + 10 t expressa a mesma relação com o lançamento da bola pela catapulta II. Suponha que as catapultas sejam acionadas ao mesmo tempo, e que elas lancem a bola a partir de uma mesma altura. A diferença de altura entre as bolas no momento em que a bola lançada pela catapulta I atinge sua altura máxima é de

A) 12 m

B) 0 m

C) 5 m

D) 16 m

E) 30 m

Resolvendo temos:

Funções dadas:

• Catapulta I: $f(t) = -t^2 + 6t$
  

• Catapulta II: $g(t) = -t^2 + 10t$
  

Essas funções representam a altura (em metros) da bola em função do tempo $t$ (em segundos).

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Passo 1: Encontrar o tempo em que a bola da Catapulta I atinge a altura máxima

A função $f(t) = -t^2 + 6t$ é uma parábola com concavidade para baixo, então sua altura máxima ocorre no vértice.

A fórmula do tempo $t$ no vértice de uma parábola do tipo $f(t) = at^2 + bt + c$

$$t = \frac{-b}{2a}$$

Para $f(t) = -t^2 + 6t$, temos:

• $a = -1$
  

• $b = 6$
  

$$t = \frac{-6}{2(-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$$

Passo 2: Calcular a altura da bola da Catapulta I nesse instante

Substituímos $t = 3$ na função $f(t)$:

$$f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9 \text{ metros}$$

Passo 3: Calcular a altura da bola da Catapulta II no mesmo instante ($t = 3$)

$$g(3) = -(3)^2 + 10 \cdot 3 = -9 + 30 = 21 \text{ metros}$$

Passo 4: Calcular a diferença de altura entre as bolas nesse instante

$$\text{Diferen}\stackrel{¸}{\text{c}}\text{a}=g(3)-f(3)=21-9=\boxed{{\displaystyle 12\text{ metros}}}$$