(CA ESA 2021 AOS CFGS 2022 – 23) - QUESTÃO

Numa PA crescente, os seus dois primeiros termos são as raízes da equação 𝑋² − 11𝑋 + 24 = 0. Sabendo que o número de termos dessa PA é igual ao produto dessas raízes, então a soma dos termos dessa progressão é igual a: 

Ⓐ 1.100 

Ⓑ 1.200 

Ⓒ 1.452 

Ⓓ 1.350 

Ⓔ 1.672

Resolvendo temos:

Os dois primeiros termos de uma PA crescente são as raízes da equação:

$$x^2 - 11x + 24 = 0$$

E o número de termos da PA é o produto das raízes dessa equação.

Queremos saber a soma dos termos dessa PA.

1. Encontrar as raízes da equação

$$x^2 - 11x + 24 = 0$$

Usamos Bhaskara:

$$\Delta = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$
$$x = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{11 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = \frac{11 - 5}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{11 + 5}{2} = 8$$

As raízes são 3 e 8, portanto os dois primeiros termos da PA são:

$$a_1 = 3, \quad a_2 = 8$$

2. Descobrir a razão da PA

$$r = a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5$$

3. Número de termos da PA

Produto das raízes:

$$3 \cdot 8 = 24$$

Então a PA tem 24 termos.

4. Último termo da PA

Na PA:

$$a_n = a_1 + (n - 1)r$$
$$a_{24} = 3 + (24 - 1) \cdot 5 = 3 + 23 \cdot 5 = 3 + 115 = 118$$

5. Soma dos termos da PA

Fórmula da soma de uma PA:

$$S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$$
$$S=\frac{24}{2}(3+118)=12\cdot 121=\boxed{{\displaystyle \mathrm{1452<span\; style="font-family:\; Cambria;\; font-size:\; 17.6px;"></span>}}}$$