(ESA 2026 - CFGS 2027 – 28) - QUESTÃO

O pelotão de obras da Escola de Sargentos das Armas recebeu a missão de reconhecimento topográfico, que consiste em calcular a área de um terreno triangular ABC, ilustrado na figura abaixo.

Os pontos A e B foram acessados normalmente, mas o ponto C estava dentro de uma área minada, portanto, inacessível por questões de segurança. Para cumprir a missão, o comandante do pelotão mediu os ângulos CÂB, CB̂A e a distância AB, obtendo, respectivamente, 𝛼, 𝛽 e 𝑎. Qual a área do triângulo encontrada pelo comandante?

Ⓐ 𝑎²𝑠𝑒𝑛𝛼∙𝑠𝑒n𝛽/2𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)

Ⓑ 𝑎²𝑠𝑒𝑛𝛼/𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽

Ⓒ 𝑎²𝑠𝑒𝑛𝛽/𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽

Ⓓ 𝑎²𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)/2𝑠𝑒𝑛𝛼∙𝑠𝑒𝑛𝛽

Ⓔ 𝑎²𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)/𝑠𝑒𝑛𝛼∙𝑠𝑒𝑛𝛽

Resolvendo temos:

Dados do problema:

- No triângulo ABC, o lado AB tem comprimento a.

- O ângulo CÂB = α.

- O ângulo CB̂A = β.

1. Cálculo do terceiro ângulo (ACB):

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° (ou π radianos).

Portanto, o ângulo AĈB é dado por:

AĈB = 180° - (α + β)

Sabemos que:

sen(AĈB) = sen[180° - (α + β)] = sen(α + β)

2. Aplicação da Lei dos Senos:

Pela Lei dos Senos no triângulo ABC, temos:

AC/sen(β) = AB/sen(AĈB)

Substituindo os valores conhecidos (AB = a e sen(AĈB) = sen(α + β)):

AC/sen(β) = a/sen(α + β)

Isolando o lado AC:

AC = (a · sen(β)) / sen(α + β)

3. Cálculo da Área do Triângulo ABC:

A área (S) de um triângulo pode ser calculada pelo produto de dois lados e o seno do ângulo entre eles, dividido por 2:

S = (1/2) · AB · AC · sen(CÂB)

Substituindo AB = a, CÂB = α e o valor encontrado para AC:

S = (1/2) · a · [(a · sen(β)) / sen(α + β)] · sen(α)

Multiplicando os termos no numerador:

S = a² · sen(α) · sen(β)/2 · sen(α + β)

Resposta correta: Alternativa A.