(CONSULPLAN) - QUESTÃO

Um triângulo possui ângulos internos que formam uma progressão aritmética, de modo que o menor dos ângulos é 18°. O valor do maior ângulo interno desse triângulo está compreendido entre:

Ⓐ 70° e 80°.

Ⓑ 80° e 90°.

Ⓒ 90° e 100°.

Ⓓ 100° e 110°.

Ⓔ 60° e 100°.

Vamos resolver passo a passo:

Passo 1: Representar os ângulos

Se os ângulos formam uma progressão aritmética (PA) e o menor é $18^\circ$, podemos escrever os três ângulos como:

$$a_1 = 18^\circ, \quad a_2 = 18 + r, \quad a_3 = 18 + 2r$$

onde $r$ é a razão da PA.

Passo 2: Usar a soma dos ângulos do triângulo

A soma dos ângulos internos é sempre $180^\circ$:

$$18 + (18 + r) + (18 + 2r) = 180$$

Somando os termos semelhantes:

$$18 + 18 + 18 + r + 2r = 180$$
$$54 + 3r = 180$$

Passo 3: Encontrar a razão $r$

$$3r = 180 - 54 = 126$$
$$r = 42$$

Passo 4: Calcular os ângulos

$$a_1 = 18^\circ$$
$$a_2 = 18 + 42 = 60^\circ$$
$$a_3 = 18 + 2\cdot42 = 102^\circ$$

Passo 5: Determinar o intervalo do maior ângulo

O maior ângulo é $102^\circ$, que está entre 100° e 110°.