(COSEAC UFF) - QUESTÃO

Um economista usa funções para modelar a relação entre dois índices econômicos ao longo do tempo. A soma total pode representar uma acumulação de ganhos ou perdas ao longo do período observado. Essa análise poderia ajudar em avaliações de longo prazo de políticas econômicas, permitindo ajustes baseados em tendências acumuladas ao longo de vários anos. Seja f uma função real definida por f(x) = 99x – 99. Nessas condições, a soma f(–5) + f(–4) + f(–3) + ... + f(37) + f(38) é igual a:

Ⓐ 67518

Ⓑ 68781

Ⓒ 65718

Ⓓ 61758

Ⓔ 67815

Resolvendo temos:

A função dada é:

$$f(x) = 99x - 99$$

Precisamos calcular:

$$\sum_{x=-5}^{38} f(x) = \sum_{x=-5}^{38} (99x - 99)$$

Podemos separar a soma em duas partes:

$$\sum_{x=-5}^{38} (99x - 99) = 99\sum_{x=-5}^{38} x - \sum_{x=-5}^{38} 99$$

Reescrevendo:

$$= 99\sum_{x=-5}^{38} x - 99 \cdot \text{(quantidade de termos)}$$

1. Contar a quantidade de termos

De $x = -5$ até $x = 38$, temos:

$$38 - (-5) + 1 = 44 \text{ termos}$$

2. Soma dos valores de $x$ de -5 a 38

A soma de uma progressão aritmética é dada por:

$$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Aqui:

• $n = 44$
  

• $a_1 = -5$
  

• $a_n = 38$
  

Então:

$$\sum_{x=-5}^{38} x = \frac{44(-5 + 38)}{2} = \frac{44 \cdot 33}{2} = 22 \cdot 33 = 726$$

3. Agora, calcular a expressão completa:

$$99 \cdot 726 - 99 \cdot 44 = 99(726 - 44) = 99 \cdot 682$$

Agora calculamos:

$$99 \cdot 682 = (100 - 1) \cdot 682 = 100 \cdot 682 - 1 \cdot 682 = 68200 - 682 = \boxed{67518}$$