(FUNCERN) - QUESTÃO

Sejam 𝑓, 𝑔: 𝑅 ⟶ 𝑅 tais que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 e 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥² − 3. Se a lei de formação da função 𝑔 é 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, então a soma dos coeficientes 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é:

Ⓐ 1

Ⓑ 1/3

Ⓒ 0

Ⓓ 2/3

Ⓔ 3/4

Temos:

$$f(x) = 3x - 5$$

e

$$f(g(x)) = x^2 - 3$$

com

$$g(x) = a x^2 + b x + c$$

1) Usando a composição $f(g(x))$

Sabemos que:

$$f(g(x)) = 3 \cdot g(x) - 5$$

Mas também:

$$f(g(x)) = x^2 - 3$$

Portanto:

$$3 \cdot g(x) - 5 = x^2 - 3$$

2) Isolando $g(x)$

$$3 \cdot g(x) = x^2 - 3 + 5$$
$$3 \cdot g(x) = x^2 + 2$$$$g(x) = \frac{x^2 + 2}{3}$$

3) Comparando com $g(x) = a x^2 + b x + c$

Temos:

$$a = \frac{1}{3}, \quad b = 0, \quad c = \frac{2}{3}$$

4) Soma dos coeficientes

$$a+b+c=\frac{1}{3}+0+\frac{2}{3}=1$$