(FUNPAR NC UFPR) - QUESTÃO

Sejam p(x) = x + a e q(x) = x² − b funções, com a e b números reais. Sabendo que r = 21​ é a única raiz da função composta f(x) = q(p(x)) , assinale a alternativa que corresponde à soma a + b.

Ⓐ −2

Ⓑ −1

Ⓒ −21​

Ⓓ 21​

Ⓔ 2

Dado:

• $p(x) = x + a$
  

• $q(x) = x^2 - b$
  

• $f(x) = q(p(x))$
  

• $r = 21$ é única raiz de $f(x)$
  

Queremos encontrar $a + b$

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1. Escrever $f(x)$

$$f(x) = q(p(x)) = q(x + a) = (x + a)^2 - b = x^2 + 2ax + a^2 - b$$

2. Raiz única

Sabemos que $r = 21$ é única raiz de $f(x)$. Ou seja, $f(x)$ tem uma raiz dupla em $x=\mathrm{21<span\; style="font-family:\; Cambria;\; font-size:\; 17.6px;">.</span>}$

Para isso, o polinômio quadrático $f(x) = x^2 + 2ax + (a^2 - b)$ deve ter discriminante zero.

3. Condição do discriminante

O discriminante $\Delta$ é dado por:

$$\Delta = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - b) = 4a^2 - 4(a^2 - b) = 4a^2 - 4a^2 + 4b = 4b$$

Para que haja raiz única, precisamos que:

$$\Delta = 0 \implies 4b = 0 \implies b = 0$$

4. Encontrar $a$

Como $r = 21$ é raiz, temos:

$$f(21) = 0 \implies 21^2 + 2a \cdot 21 + a^2 - b = 0$$

Substituindo $b = 0$:

$$441 + 42a + a^2 = 0$$

5. Resolvendo $441 + 42a + a^2 = 0$

Escrevemos como:

$$a^2 + 42a + 441 = 0$$

Este é um quadrático em $a$.

Calculando o discriminante:

$$\Delta_a = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot 441 = 1764 - 1764 = 0$$

Então, raiz única para $a$:

$$a = \frac{-42}{2} = -21$$

6. Encontrar $a + b$

$$a+b=-21+0=-21$$