Considere as funções reais 𝑔(𝑥) = – 𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 tal que 𝑔(2) = 𝑔(4) = 0. Qual é o valor máximo que a função 𝑔 irá assumir?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Dado: 𝑔(𝑥) = −𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 e 𝑔(2) = 𝑔(4) = 0
Calcular o valor máximo que a função 𝑔 irá assumir
Primeiro vamos achar a função 𝑔(𝑥) = −𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
g(2) ⇒ 𝑔(2) = −𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
⇒ −(2)² + 𝑏(2) + 𝑐 = 0 ⇒ − 4 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 ⇒ 2𝑏 + 𝑐 = 4 ⇒ c = 4 − 2𝑏
g(4) ⇒ 𝑔(4) = −𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
⇒ −(4)² + 𝑏(4) + 𝑐 = 0 ⇒ − 16 + 4𝑏 + 𝑐 = 0 ⇒ 4𝑏 + 𝑐 = 16 ⇒ 4𝑏 + (4 − 2𝑏) = 16
⇒ 4𝑏 + 4 − 2𝑏 = 16 ⇒ 2𝑏 = 12 ⇒ 𝑏 = 6
Como c = 4 − 2𝑏 ⇒ c = 4 − 2.6 = 4 − 12 ⇒ c = − 8
Temso a função 𝑔(𝑥) = −𝑥² + 6𝑥 − 8
Clculando o valor máximo de g(x):
Vmáx = – Δ/4a = – (b² - 4.a.c)/4.a ⇒ – (6² - 4.(-1).(-8))/4.(-1) ⇒ Vmáx = – (36 – 32)/–4
⇒ Vmáx = – 4/–4 = 1
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