(FUNDATEC) - QUESTÃO

Considere as funções reais 𝑔(𝑥) = – 𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 tal que 𝑔(2) = 𝑔(4) = 0. Qual é o valor máximo que a função 𝑔 irá assumir?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Dado: 𝑔(𝑥) = −𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 e 𝑔(2) = 𝑔(4) = 0

Calcular o valor máximo que a função 𝑔 irá assumir

Primeiro vamos achar a função 𝑔(𝑥) = −𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

g(2) ⇒ 𝑔(2) = −𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 

⇒ −(2)² + 𝑏(2) + 𝑐 = 0 ⇒ − 4 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 ⇒ 2𝑏 + 𝑐 = 4 ⇒ c = 4 − 2𝑏 

g(4) ⇒ 𝑔(4) = −𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

⇒ −(4)² + 𝑏(4) + 𝑐 = 0 ⇒ − 16 + 4𝑏 + 𝑐 = 0 ⇒ 4𝑏 + 𝑐 = 16 ⇒ 4𝑏 + (4 − 2𝑏) = 16

⇒ 4𝑏 + 4 − 2𝑏 = 16 ⇒ 2𝑏 = 12 ⇒ 𝑏 = 6

Como c = 4 − 2𝑏 ⇒ c = 4 − 2.6 = 4 − 12 ⇒ c = − 8

Temso a função 𝑔(𝑥) = −𝑥² + 6𝑥 − 8   

Clculando o valor máximo de g(x):

Vmáx = – Δ/4a = – (b² - 4.a.c)/4.a ⇒ – (6² - 4.(-1).(-8))/4.(-1) ⇒ Vmáx = – (36 – 32)/–4

⇒ Vmáx = – 4/–4 = 1