(ESA 2026 - CFGS 2027 – 28) - QUESTÃO

Visando à preparação para a MAREXAER, competição esportiva entre as três escolas de formação de sargentos da Marinha do Brasil, do Exército Brasileiro e da Força Aérea Brasileira, um número x de alunos da ESA foi selecionado para participar de uma pesquisa, visando verificar a preferência deles para três modalidades esportivas. Os resultados foram tabelados abaixo:

A probabilidade de se escolher um aluno que tenha preferência por, no máximo, uma modalidade analisada, entre os x alunos selecionados inicialmente para a pesquisa, é igual a 21/40 . Nessas condições, o número de alunos entre os x selecionados inicialmente que não manifestaram interesse por qualquer das modalidades analisadas é: 

Ⓐ 12 

Ⓑ 16 

Ⓒ 24

Ⓓ 32 

Ⓔ 40

Resolvendo temos:

1. Análise dos dados fornecidos:

• Basquete (B): 28 alunos

• Futebol (F): 48 alunos

• Vôlei (V): 32 alunos

• Basquete e Futebol (B ∩ F): 16 alunos

• Basquete e Vôlei (B ∩ V): 14 alunos

• Futebol e Vôlei (F ∩ V): 20 alunos

• Basquete, Futebol e Vôlei (B ∩ F ∩ V): 6 alunos

2. Cálculo dos alunos em cada região do diagrama de Venn:

• Alunos que gostam de exatamente 3 modalidades:

  - Os 3 esportes = 6

• Alunos que gostam de exatamente 2 modalidades:

  - Apenas Basquete e Futebol = 16 - 6 = 10

  - Apenas Basquete e Vôlei = 14 - 6 = 8

  - Apenas Futebol e Vôlei = 20 - 6 = 14

  - Total que gostam de exatamente 2 modalidades = 10 + 8 + 14 = 32

• Alunos que gostam de exatamente 1 modalidade:

  - Apenas Basquete = 28 - (10 + 8 + 6) = 28 - 24 = 4

  - Apenas Futebol = 48 - (10 + 14 + 6) = 48 - 30 = 18

  - Apenas Vôlei = 32 - (8 + 14 + 6) = 32 - 28 = 4

  - Total que gostam de exatamente 1 modalidade = 4 + 18 + 4 = 26

• Total de alunos que gostam de pelo menos uma modalidade (União):

  - N(União) = 26 (exatamente 1) + 32 (exatamente 2) + 6 (exatamente 3) = 64

3. Equacionamento com o total de alunos (x) e os sem preferência (y):

Seja "y" o número de alunos que não manifestaram interesse por nenhuma modalidade.

O total de alunos é: x = 64 + y

Alunos com preferência por "no máximo uma modalidade":

Corresponde aos alunos com 0 modalidades (y) mais os alunos com exatamente 1 modalidade (26).

  - N(no máximo 1) = 26 + y

A probabilidade de escolher um aluno com no máximo uma modalidade é dada por 21/40:

  (26 + y) / (64 + y) = 21 / 40

4. Resolução da equação:

40 * (26 + y) = 21 * (64 + y)

1040 + 40y = 1344 + 21y

40y - 21y = 1344 - 1040

19y = 304

y = 304 / 19

y = 16

Resposta: O número de alunos que não manifestaram interesse por qualquer das modalidades é 16.

Podemos resolver ainda da seguinte maneira:

1. Dados fornecidos pelo enunciado:

• n(B) = 28  (Alunos que gostam de Basquete)

• n(F) = 48  (Alunos que gostam de Futebol)

• n(V) = 32  (Alunos que gostam de Vôlei)

• n(B ∩ F) = 16  (Alunos que gostam de Basquete e Futebol)

• n(B ∩ V) = 14  (Alunos que gostam de Basquete e Vôlei)

• n(F ∩ V) = 20  (Alunos que gostam de Futebol e Vôlei)

• n(B ∩ F ∩ V) = 6  (Alunos que gostam das três modalidades)

2. Aplicação da Fórmula da União de Três Conjuntos:

n(B ∪ F ∪ V) = n(B) + n(F) + n(V) - n(B ∩ F) - n(B ∩ V) - n(F ∩ V) + n(B ∩ F ∩ V)

Substituindo os valores conhecidos:

n(B ∪ F ∪ V) = 28 + 48 + 32 - 16 - 14 - 20 + 6

n(B ∪ F ∪ V) = 108 - 50 + 6

n(B ∪ F ∪ V) = 64

Portanto, exatamente 64 alunos praticam pelo menos uma das três modalidades.

3. Determinação do total de alunos (x) e dos sem preferência (y):

Seja "y" o número de alunos que NÃO manifestaram interesse por qualquer modalidade.

O total de alunos selecionados é:

x = n(B ∪ F ∪ V) + y

x = 64 + y

4. Cálculo dos alunos que gostam de "NO MÁXIMO UMA" modalidade:

Alunos com no máximo uma modalidade = (Alunos de 0 modalidades) + (Alunos de APENAS 1 modalidade)

Para encontrar os alunos que gostam de apenas uma modalidade:

• Apenas Basquete = n(B) - n(B ∩ F) - n(B ∩ V) + n(B ∩ F ∩ V)

  Apenas Basquete = 28 - 16 - 14 + 6 = 4

• Apenas Futebol = n(F) - n(B ∩ F) - n(F ∩ V) + n(B ∩ F ∩ V)

  Apenas Futebol = 48 - 16 - 20 + 6 = 18

• Apenas Vôlei = n(V) - n(B ∩ V) - n(F ∩ V) + n(B ∩ F ∩ V)

  Apenas Vôlei = 32 - 14 - 20 + 6 = 4

Total de alunos em apenas 1 modalidade = 4 + 18 + 4 = 26.

Total de alunos em no máximo 1 modalidade = 26 + y.

5. Aplicação da Probabilidade dada (21/40):

P = (Alunos com no máximo 1 modalidade) / (Total de alunos x)

21 / 40 = (26 + y) / (64 + y)

Multiplicando cruzado:

21.(64 + y) = 40.(26 + y)

1344 + 21y = 1040 + 40y

1344 - 1040 = 40y - 21y

304 = 19y

y = 304 / 19

y = 16

Resposta: O número de alunos que não manifestaram interesse por qualquer das modalidades é 16.