(ESA 2026 - CFGS 20267 – 28) - QUESTÃO

As raízes do polinômio p(x) = 2x³ − mx² + 17x − 6 são a, b e 2, com a > b. Nesse caso, é correto afirmar que a^b é igual a:

Ⓐ 4

Ⓑ 1

Ⓒ √2

Ⓓ 2

Ⓔ √3

Vamos resolver passo a passo.

Temos:

$$p(x)=2x^3-mx^2+17x-6$$

e sabemos que as raízes são $a$, $b$ e 2.

Como $2$ é uma raiz, então:

$$p(2)=0$$

1. Descobrindo $m$

$$2(2)^3-m(2)^2+17(2)-6=0$$
$$16-4m+34-6=0$$
$$44-4m=0$$
$$4m=44$$
$$\boxed{m=11}$$

Logo:

$$p(x)=2x^3-11x^2+17x-6$$

2. Encontrando as outras raízes

Como $2$ é raiz, podemos dividir o polinômio por $(x-2)$:

$$2x^3-11x^2+17x-6=(x-2)(2x^2-7x+3)$$

Agora precisamos resolver:

$$2x^2-7x+3=0$$

Fatorando:

$$2x^2-6x-x+3=0$$
$$2x(x-3)-1(x-3)=0$$
$$(2x-1)(x-3)=0$$

Portanto:

$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12$$

ou

$$x-3=0 \Rightarrow x=3$$

Assim, as três raízes são:

$$\frac12,\quad 2,\quad 3$$

Como o enunciado afirma que $a>b$:

$$\boxed{a=3,\quad b=\frac12}$$

3. Calculando $a^b$

$$a^b=3^{\frac12}$$

Pela propriedade das potências:

$$3^{\frac12}=\sqrt3$$

Portanto:

$$\boxed{a^b=\sqrt3}$$