(ESA 2026 - CFGS 20267 – 28) - QUESTÃO

Um cilindro, cujo raio da base mede 20 cm, possui água em seu interior até a altura de 10 cm. Três esferas metálicas (E1, E2 e E3, nessa ordem) possuem os raios com medidas que seguem uma progressão geométrica. O raio da esfera E1 mede 3 cm. Quando essas esferas são colocadas no interior do cilindro, o nível da água sobe 6,57 cm. Assim, pode-se afirmar que o volume da esfera E2 é igual a:

Ⓐ 288\πcm³

Ⓑ 36 πcm³

Ⓒ 72 πcm³

Ⓓ 180 πcm³

Ⓔ 240 πcm³

Vamos resolver passo a passo.

1. Volume de água deslocado

O cilindro tem raio:

$$R=20\text{ cm}$$

Logo, a área da base é:

$$A=\pi R^2=\pi(20)^2=400\pi$$

O nível da água subiu 6,57 cm, portanto o volume deslocado pelas três esferas é:

$$V=400\pi\cdot6,57$$
$$\boxed{V=2628\pi\text{ cm}^3}$$

Esse é o volume total das três esferas.

2. Raios das esferas em progressão geométrica

Sabemos que:

$$r_1=3$$

Como os raios estão em uma PG, podemos escrever:

$$r_1=3,\qquad r_2=3q,\qquad r_3=3q^2$$

3. Volume das três esferas

O volume de uma esfera é:

$$V=\frac43\pi r^3$$

Então:

$$V_1=\frac43\pi(3)^3=36\pi$$
$$V_2=\frac43\pi(3q)^3=36\pi q^3$$
$$V_3=\frac43\pi(3q^2)^3=36\pi q^6$$

Como o volume total é $2628\pi$:

$$36\pi+36\pi q^3+36\pi q^6=2628\pi$$

Dividindo por $36\pi$:

$$1+q^3+q^6=73$$
$$q^6+q^3-72=0$$

4. Resolvendo a equação

Faça:

$$x=q^3$$

Então:

$$x^2+x-72=0$$

Fatorando:

$$(x+9)(x-8)=0$$

Logo:

$$x=-9\quad\text{ou}\quad x=8$$

Como estamos tratando de raios, a razão $q$ deve ser positiva. Assim:

$$q^3=8$$
$$q=2$$

Portanto, o raio da segunda esfera é:

$$r_2=3\cdot 2=6\text{ cm}$$

5. Volume da esfera $E_2$

$$V_2=\frac43\pi(6)^3$$
$$V_2=\frac43\pi\cdot216$$
$$\boxed{V_2=288\pi\text{ cm}^3}$$

Resposta: A) 288π cm³