(ESA 2026 - CFGS 20267 – 28) - QUESTÃO

A robótica tem se tornado cada vez mais presente nas Forças Armadas. Robôs são desenvolvidos e empregados para aumentar a segurança dos combatentes e executar tarefas em que são guiados por meio de controle remoto. Durante um exercício no Campo de Instrução da Escola de Sargentos das Armas, um robô, que se encontra na origem de um sistema cartesiano ortogonal, deve passar pelos pontos A(1, 1), B (2, 0) e C(4, 4), que também estão no mesmo plano cartesiano. Inicialmente, ele deve caminhar em linha reta até o ponto A. Em seguida, deve ajustar sua trajetória para deslocar-se sobre um arco parabólico, a fim de passar pelos pontos B e C. Dessa forma, o robô deve ser programado para deslocar-se sobre o gráfico da função:

Nesse caso, a² + b² + c² + m² é igual a:

Ⓐ 40

Ⓑ 32

Ⓒ 34

Ⓓ 36

Ⓔ 38

Temos os pontos:

• $A(1,1)$
• $B(2,0)$
• $C(4,4)$

E a função:

$$f(x)= \begin{cases} mx, & 0\leq x\leq1\\ ax^2+bx+c, & x>1 \end{cases}$$

Queremos calcular:

$$a^2+b^2+c^2+m^2$$

1. Determinando $m$

O trecho inicial é uma reta:

$$f(x)=mx$$

Como o robô passa pelo ponto $A(1,1)$:

$$f(1)=m(1)=1$$

Logo:

$$\boxed{m=1}$$

2. Determinando $a$, $b$ e $c$

A partir de $x>1$, temos:

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

A trajetória deve passar por $B(2,0)$. Portanto:

$$a(2)^2+b(2)+c=0$$
$$\boxed{4a+2b+c=0}$$

Também passa por $C(4,4)$:

$$a(4)^2+b(4)+c=4$$
$$\boxed{16a+4b+c=4}$$

Falta uma terceira equação.

Como a trajetória é contínua no ponto $A(1,1)$, a parábola deve iniciar em:

$$f(1)=1$$

Assim:

$$a(1)^2+b(1)+c=1$$
$$\boxed{a+b+c=1}$$

Temos então o sistema:

$$\begin{cases} a+b+c=1\\ 4a+2b+c=0\\ 16a+4b+c=4 \end{cases}$$

3. Resolvendo o sistema

Subtraindo a primeira equação da segunda:

$$(4a+2b+c)-(a+b+c)=0-1$$
$$3a+b=-1$$

Logo:

$$\boxed{3a+b=-1}$$

Agora, subtraindo a segunda da terceira:

$$(16a+4b+c)-(4a+2b+c)=4-0$$
$$12a+2b=4$$

Dividindo por 2:

$$6a+b=2$$

Então:

$$\boxed{6a+b=2}$$

Subtraindo:

$$(6a+b)-(3a+b)=2-(-1)$$
$$3a=3$$
$$\boxed{a=1}$$

Como:

$$3a+b=-1$$
$$3(1)+b=-1$$
$$b=-4$$

Portanto:

$$\boxed{b=-4}$$

Finalmente:

$$a+b+c=1$$
$$1-4+c=1$$
$$c=4$$

Logo:

$$\boxed{a=1,\quad b=-4,\quad c=4,\quad m=1}$$

4. Calculando a expressão

$$a^2+b^2+c^2+m^2$$

Substituindo:

$$1^2+(-4)^2+4^2+1^2$$
$$=1+16+16+1$$
$$\boxed{{\displaystyle 34}}$$