(VPNE - CFGS/ESA 2026) - QUESTÃO

Um esquadrão de Cavalaria do Exército planeja estabelecer um posto de observação avançado que deve ficar exatamente à mesma distância de dois quartéis-generais. No mapa de operações, os quartéis estão localizados nos pontos P(−1, 2) e Q(5, 4). Se o posto de observação deve ser instalado sobre uma estrada modelada pela reta horizontal de equação y = 6, quais são as coordenadas cartesianas desse posto?

Ⓐ (−2, 6)

Ⓑ (3, 6)

Ⓒ (1, 6)

Ⓓ (2, 6)

Ⓔ (1, 4)

Seja o ponto do posto $R(x,6)$, já que ele está sobre a reta $y=6$.

Ele deve ser equidistante de $P(-1,2)$ e $Q(5,4)$. Então:

$$RP^2 = RQ^2$$

Calculando as distâncias ao quadrado:

Até P:

$$RP^2 = (x+1)^2 + (6-2)^2 = (x+1)^2 + 16$$

Até Q:

$$RQ^2 = (x-5)^2 + (6-4)^2 = (x-5)^2 + 4$$

Igualando:

$$(x+1)^2 + 16 = (x-5)^2 + 4$$

Expandindo:

$$x^2 + 2x + 1 + 16 = x^2 - 10x + 25 + 4$$

Simplificando:

$$2x + 17 = -10x + 29$$
$$12x = 12 \Rightarrow x = 1$$

Logo, o ponto é:

$$(1,6)$$