(AMAUC 2026) - QUESTÃO

 Em um projeto de topografia, a borda de um reservatório foi modelada pela circunferência de equação x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0, usando um sistema cartesiano em metros. Uma equipe de inspeção desloca um sensor ao longo de uma passarela retilínea r, representada por y = x − 1, e em certo instante o sensor P alcança um dos pontos em que a passarela cruza a borda do reservatório.

Considerando os dois cruzamentos possíveis entre a reta e a circunferência, determine a soma das abscissas dos pontos de interseção.

Ⓐ A soma das abscissas é igual a 2.         

Ⓑ A soma das abscissas é igual a 8.         

Ⓒ A soma das abscissas é igual a 10.         

Ⓓ A soma das abscissas é igual a 6.         

Ⓔ A soma das abscissas é igual a 4.    

Temos:

• Circunferência:

$$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$

• Reta:

$$y = x - 1$$

- Substituir a equação da reta na circunferência

Substituímos $y = x - 1$ na equação da circunferência:

$$x^2 + (x-1)^2 - 6x + 4(x-1) - 12 = 0$$

- Desenvolver

$$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$$

Substituindo:

$$x^2 + x^2 - 2x + 1 - 6x + 4x - 4 - 12 = 0$$

Agora somamos os termos semelhantes:

$$2x^2 - 4x - 15 = 0$$

- Usar a relação da soma das raízes

Para uma equação do tipo:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

A soma das raízes é:

$$-\frac{b}{a}$$

Aqui:

• $a = 2$
  

• $b = -4$
  

Logo:

$$x_1+x_2=-\frac{-4}{2}=\frac{4}{2}=2$$