(FCC) - QUESTÃO

Uma pirâmide quadrangular regular reta teve sua aresta da base reduzida em 50% e sua altura aumentada em x% de tal forma que seu volume não se alterou. Nas condições descritas, x é igual a

Ⓐ 250.

Ⓑ 350

Ⓒ 100.

Ⓓ 200.

Ⓓ 300.

Vamos resolver essa questão passo a passo, começando com a fórmula do volume de uma pirâmide quadrangular regular reta.

O volume de uma pirâmide é dado pela fórmula:

$$V = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h$$

Onde:

• $A_{\text{base}}$ é a área da base da pirâmide,

• $h$ é a altura da pirâmide.

Passo 1: Definindo as variáveis iniciais

• Suponhamos que a aresta da base original seja $a$ e a altura original seja $h_0$.

• A área da base original será $A_{\text{base}} = a^2$ (porque a base é um quadrado).

• O volume original será, então:

$$V_0 = \frac{1}{3} \times a^2 \times h_0$$

Passo 2: Mudanças nas dimensões

Agora, a aresta da base é reduzida em 50%, ou seja, a nova aresta da base será $a' = \frac{a}{2}$

A nova área da base será:

$$A'_{\text{base}} = (a')^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$$

Além disso, a altura da pirâmide é aumentada em $x\%$. Ou seja, a nova altura será $h' = h_0 \times \left(1 + \frac{x}{100}\right)$.

Passo 3: Volume após as mudanças

O novo volume será dado por:

$$V' = \frac{1}{3} \times A'_{\text{base}} \times h' = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{4} \times h_0 \times \left(1 + \frac{x}{100}\right)$$

Passo 4: Condição de volume constante

Sabemos que o volume não mudou, ou seja, $V' = V_0$. Então, igualamos os dois volumes:

$$\frac{1}{3} \times \frac{a^2}{4} \times h_0 \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) = \frac{1}{3} \times a^2 \times h_0$$

Cancelando os termos comuns (como $\frac{1}{3} \times a^2 \times h_0$):

$$\frac{1}{4} \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 1$$

Multiplicando ambos os lados por 4:

$$1 + \frac{x}{100} = 4$$

Subtraindo 1 de ambos os lados:

$$\frac{x}{100} = 3$$

Multiplicando por 100:

$$x = 300$$