(VUNESP-SP) - QUESTÃO

O gráfico da função quadrática definida por y = x² – mx + (m – 1), onde m ∈ R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é:

Ⓐ – 2

Ⓑ – 1

Ⓒ 0

Ⓓ 1

Ⓔ 2

Dada a função quadrática:

$$y = x^2 - mx + (m - 1)$$

Sabemos que o gráfico tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas, ou seja, a equação tem apenas uma raiz real.

- Condição para ter uma única raiz real

Para uma equação do 2º grau ter uma única raiz real, o discriminante $\Delta$ deve ser igual a zero:

A equação é:

$$y = x^2 - mx + (m - 1)$$

Comparando com a forma padrão $y = ax^2 + bx + c$:

• $a = 1$
  

• $b = -m$
  

• $c = m - 1$
  

O discriminante é:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4(1)(m - 1) = m^2 - 4(m - 1)$$
$$\Delta = m^2 - 4m + 4$$
$$\Delta = (m - 2)^2$$

Queremos uma única raiz real, então:

$$\Delta = 0 \Rightarrow (m - 2)^2 = 0 \Rightarrow m = 2$$

- Substituir $m = 2$ na função

Agora, substituímos $m = 2$ na função:

$$y = x^2 - 2x + (2 - 1) = x^2 - 2x + 1$$
$$y = (x - 1)^2$$

- Calcular $y$ quando $x = 2$

$$y = (2 - 1)^2 = 1^2 = 1$$