(FUNDATEC) - QUESTÃO

Sabendo que a equação 7x² + 13y² = 91 é a equação de uma cônica, é correto afirmar que a equação dada é a equação de uma:

Ⓐ Elipse, cujo eixo maior está sobre o eixo das ordenadas.

Ⓑ Hipérbole, e um dos focos é o ponto F(0, √6).

Ⓒ Elipse de excentricidade e = √(6/13)

Ⓓ Hipérbole, cujo eixo real está sobre o eixo das abscissas.

Ⓔ Elipse, e um dos focos da elipse é o ponto F(0, − √6).

Vamos analisar a equação dada:

$$7x^2 + 13y^2 = 91$$

- Colocar na forma padrão

Dividimos todos os termos por 91 para tentar obter uma das formas padrão das cônicas:

$$\frac{7x^2}{91} + \frac{13y^2}{91} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{7} = 1$$

Essa é uma equação padrão de uma elipse, pois soma de dois quadrados com sinal + = elipse, e não é circunferência pois os denominadores são diferentes.

Forma geral da elipse com centro na origem:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

No nosso caso:

$$\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{7} = 1 \Rightarrow a^2 = 13, \quad b^2 = 7$$

Como a² > b², o eixo maior está sobre o eixo x (o eixo das abscissas). Mas atenção: na equação da elipse, a variável associada ao maior denominador determina o eixo maior.

Logo:

• O eixo maior está sobre o eixo das abscissas (x).

• A excentricidade da elipse é:

$$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{7}{13}}=\sqrt{\frac{6}{13}}$$