(Mackenzie-SP) - QUESTÃO

A forma trigonométrica do número complexo i – √3 é:

Ⓐ 2(cosπ/3 + isenπ/3)

Ⓑ 2(cosπ/6 + isenπ/6)

Ⓒ 2(cos2π/3 + isen2π/3)

Ⓓ 2(cos5π/3 + isen5π/3)

Ⓔ 2(cos5π/6 + isen5π/6)

Vamos resolver passo a passo. Queremos a forma trigonométrica do número complexo:

$$z = i - \sqrt{3} = -\sqrt{3} + i$$

Módulo $r$

O módulo é dado por:

$$r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Argumento $\theta$

O argumento é:

$$\theta = \arctan\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right) = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right) = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})$$
$$\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$$

$$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

Forma trigonométrica

$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=2(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})$$