(CPCON UEPB) - QUESTÃO

Em um sorteio, foram retirados quatros números, 12, x, y, 2, organizados em ordem decrescente, onde x, y ϵ R. Sabendo que os três primeiros termos da sequência dada estão em PA e que os três últimos termos estão em PG, é CORRETO afirmar que os valores de x e y são:

a) x = 9 e y = 4

b) x = 8 e y = 4

c) x = 4 e y = 3

d) x = 8 e y = 6

e) x = 10 e y = 4

Dados: 12, x, y, 2

PA: (12, x, y) ⇒ razão igua a r = x - 12

PG: (x, y, 2) ⇒ razão igua a q = y/x

Calculando a PA:

a_n = a₁ + (n – 1).r ⇒ a₃ = 12 + (3 – 1).(x - 12) 

Se a₃ = y, temos,

a₃ = 12 + (3 – 1).(x - 12) ⇒ y = 12 + 2x - 24 ⇒ 2x - 12 = y ⇒ 2x - y = 12 (I)

Calculando a PG:

a_n = a₁.q^(n-1)  ⇒ a₃ = x.q^(3-1)  ⇒ 2 = x.q²  ⇒ 2 = x.(y/x)²  ⇒ 2 = x.y²/x²

⇒ y²/x = 2 ⇒ y² = 2x (II)

Substituindo (I) em (II) temos:

2x - y = 12 ⇒ y² - y = 12 ⇒ y² - y - 12 = 0

y' = 4 e y" = - 3

Como 2x - y = 12, temos:

y' = 4 ⇒ 2x - 4 = 12 ⇒ x = 8

y" = - 3 ⇒ 2x + 3 = 12 ⇒ x = 9/2

Possibilidades da sequência dada: 

(12, 8, 4, 2) ⇒ Satisfaz o enunciado da questão

(12, 9/2, - 3, 2) ⇒ Não satisfaz o enunciado da questão.

Assim temos que x = 8 e y = 4