(UNIFOR-CE) - QUESTÃO

Se, no universo complexo, a equação x⁵ – x⁴ – 5x³ + 8x + 4 = 0 admite a raiz - 1, com multiplicidade 2, então a soma das demais raízes é:

Ⓐ 4

Ⓑ 3

Ⓒ 0

Ⓓ – 3

Ⓔ – 4

Revendo as Relações de Girand:

1) Consideremos o polinômio do 2º grau

- Dado P(x) = ax² + bx² + c, com a ≠ 0, cujas raízes são x' e x. Pelo teorema da decomposição temos:

x' + x = - b/a e x' . x" = c/a

2) Equação do 3° grau

- Dado P(x) = ax³ + bx² + cx + d, com a ≠ 0, cujas raízes são 𝛂1, 𝛂2 e 𝛂3. Pelo teorema da decomposição, temos:

𝛂1 + 𝛂2 + 𝛂3 = - b/a

𝛂1 + 𝛂2 + 𝛂3 = - d/a

𝛂1 𝛂2 + 𝛂2𝛂3 + 𝛂1𝛂3 = c/a

3) Equação com grau n > 3

- Dado a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ = 0, com n > 1, an ≠ 0 e de raízes 𝛂1, 𝛂2 e 𝛂3... 𝛂n, temos:

𝛂1 + 𝛂2 + 𝛂3  + ... + 𝛂n-1  + 𝛂n= - 𝛂n-1/𝛂n

Portanto:

sendo - 1, - 1, a, b, c, as raízes da equação, uma das relações de Girard nos garante que:

- 1 - 1 + a + b + c = 1 ⇒ a + b + c  = 3