(VPNE - CFGS/ESA 2026) - QUESTÃO

Em um mapa topográfico militar, duas cercas de proteção de uma base do Exército são modeladas pelas retas paralelas r: x + 2y – 6 = 0 e s: x + 2y + k = 0. Sabendo que a distância real entre essas cercas é de √5 quilômetros, determine o menor valor possível para a constante k.

Ⓐ 1

Ⓑ –11

Ⓒ –6

Ⓓ 11

Ⓔ –1

As retas são:

$$r: x+2y-6=0$$
$$s: x+2y+k=0$$

Como possuem os mesmos coeficientes de $x$ e $y$, são paralelas.

A distância entre duas retas paralelas da forma

$$ax+by+c_1=0 \quad \text{e} \quad ax+by+c_2=0$$

é dada por:

$$d=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Neste caso:

• $a=1$
  
• $b=2$
  
• $c_1=-6$
  
• $c_2=k$
  

Logo,

$$\sqrt{5}=\frac{|k-(-6)|}{\sqrt{1^2+2^2}} =\frac{|k+6|}{\sqrt{5}}$$

$$5=|k+6|$$

Então:

$$k+6=5 \quad \text{ou} \quad k+6=-5$$
$$k=-1 \quad \text{ou} \quad k=-11$$

Como o problema pede o menor valor possível de $k$,

$$\boxed{{\displaystyle k=-\mathrm{11<span\; style="font-family:\; Cambria;\; font-size:\; 17.6px;"></span>}}}$$