(VUNESP 2025) - QUESTÃO

Dada a equação 9x³ − 36x² + 29x + 14 = 0, sejam a, b e c ∈ R suas raízes. 

Sabendo que a < b < c e que b · (a + c) = 4, a raiz c pertence ao intervalo real

Ⓐ ]6, 8].

Ⓑ ]0, 2].

Ⓒ ]2, 4].

Ⓓ ]4, 6].

Ⓔ ]8, 10[.

Temos a equação:

$$9x^3 - 36x^2 + 29x + 14 = 0$$

Sejam $a < b < c$ suas raízes reais e dado que:

$$b(a + c) = 4$$

- As relações de Viète (ou Relações de Girard)

Para a equação $9x^3-36x^2+29x+14=$:

$$a + b + c = \frac{36}{9} = 4$$
$$ab + ac + bc = \frac{29}{9}$$ $$abc = -\frac{14}{9}$$

- Usando a condição dada

Sabemos que:

$$a + c = 4 - b$$

Então:

$$b(a+c) = b(4 - b)$$

Como o enunciado diz que isso vale 4:

$$b(4 - b) = 4$$
$$4b - b^2 = 4$$
$$b^2 - 4b + 4 = 0$$
$$(b - 2)^2 = 0$$

Logo:

$$b = 2$$

- Encontrando as outras raízes

Como $a + b + c = 4$:

$$a + c = 2$$

E como $x = 2$ é raiz, dividimos o polinômio por $(x - 2)$.

Fazendo a divisão:

$$9x^3 - 36x^2 + 29x + 14 = (x - 2)(9x^2 - 18x - 7)$$

Agora resolvemos:

$$9x^2 - 18x - 7 = 0$$$$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 252}}{18}$$ $$x = \frac{18 \pm \sqrt{576}}{18}$$ $$x = \frac{18 \pm 24}{18}$$

Assim:

$$x = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$$ $$x = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$$

- Ordenando as raízes

$$a = -\frac{1}{3}, \quad b = 2, \quad c = \frac{7}{3}$$ $$c = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$$

- Intervalo

$$2 < 2{,}33 \le 4$$

Portanto:

$$\boxed{{\displaystyle \text{C) ]2, 4].<span style="font-family: Cambria; font-size: 17.6px;"></span>}}}$$