(MACK-SP) - QUESTÃO

Dadas as funções reais definidas por f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = 3x, então o valor de k tal que g(f(k)) = 4 é:

Ⓐ 1/4

Ⓑ 4/5

Ⓒ 2

Ⓓ 3

Ⓔ 7/6

Temos as funções $f(x) = 4x + 1$ e $f(g(x)) = 3x$, e precisamos encontrar o valor de $k$ tal que $g(f(k)) = 4$.

Passo 1: Expressar $g(x)$ em termos de $f(x)$

Sabemos que $f(g(x)) = 3x$, e $f(x) = 4x + 1$. Então, substituímos $g(x)$ na função $f$:

$$f(g(x)) = 4g(x) + 1 = 3x$$

Agora, isolamos $g(x)$:

$$4g(x) = 3x - 1$$
$$g(x) = \frac{3x - 1}{4}$$

Passo 2: Substituir $g(f(k)) = 4$

Agora que sabemos que $g(x) = \frac{3x - 1}{4}$, vamos substituir $f(k)$ em $g$.

Temos $f(k) = 4k + 1$. Então, $g(f(k))$ fica:

$$g(f(k)) = g(4k + 1) = \frac{3(4k + 1) - 1}{4}$$

Simplificando:

$$g(f(k)) = \frac{12k + 3 - 1}{4} = \frac{12k + 2}{4} = 3k + \frac{1}{2}$$

Agora, sabemos que $g(f(k)) = 4$, então igualamos a expressão a 4:

$$3k+\frac{1}{2}=4$$

Passo 3: Resolver a equação

Subtraímos $\frac{1}{2}$ de ambos os lados:

$$3k = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$$

Agora, dividimos por 3:

$$k = \frac{7}{2} \div 3 = \frac{7}{6}$$

Portanto, o valor de $k$ é $\frac{7}{6}$.