(IADES) - QUESTÃO

Sejam A, B e C matrizes quadradas e invertíveis de ordem 4. Sabendo que det(A) = 0,16 e det(A×B) = det(2C), a razão entre os determinantes de B e C, nessa ordem, é igual a:

Ⓐ 16.

Ⓑ 100.

Ⓒ 80.

Ⓓ 64

Ⓔ 256.

Temos as seguintes informações:

• $A, B, C$ são matrizes quadradas e invertíveis de ordem 4.

• $\det(A) = 0{,}16$
  

• $\det(A \times B) = \det(2C)$
  

Queremos encontrar a razão entre os determinantes de $B$ e $C$, ou seja, $\frac{\det(B)}{\det(C)}$.

1) Propriedade do determinante de um produto

Sabemos que:

$$\det(A \times B) = \det(A) \cdot \det(B)$$

Portanto:

$$\det(A) \cdot \det(B) = \det(2C)$$

2) Propriedade do determinante de um escalar multiplicando uma matriz

Se $C$ é uma matriz de ordem $n = 4$, então:

$$\det(2C) = 2^4 \cdot \det(C) = 16 \cdot \det(C)$$

3) Substituindo os valores

Sabemos que $\det(A) = 0{,}16$, então:

$$0{,}16 \cdot \det(B) = 16 \cdot \det(C)$$

Multiplicando ambos os lados por 100 para remover a vírgula:

$$16 \cdot \det(B) = 1600 \cdot \det(C)$$

Dividindo ambos os lados por 16:

$$\det(B) = 100 \cdot \det(C)$$

Portanto, a razão $\frac{\det (B)}{\det (C)}=100$