(EDUCA) - QUESTÃO

A distância entre a bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano ortogonal e a reta R de equação x – y + 2 = 0 é igual a:

Ⓐ 2

Ⓑ 4

Ⓒ 2√2

Ⓓ −2

Ⓔ √2

1. Identificar a bissetriz dos quadrantes ímpares

Os quadrantes ímpares são o 1º e o 3º quadrantes.
A bissetriz que passa por ambos é a reta de equação $y = x$.

2. Identificar a reta R

A equação da reta R é:

$$x - y + 2 = 0 \Rightarrow y = x + 2$$

3. Calcular a distância entre a reta $y = x$ e a reta $y = x + 2$

Observe que:

• Ambas as retas têm o mesmo coeficiente angular (inclinação $m = 1$)

• Portanto, são retas paralelas

• A distância entre retas paralelas com equações $y = mx + b_1$ e $y = mx + b_2$ é dada por:

$$d = \frac{|b_2 - b_1|}{\sqrt{1 + m^2}}$$

Aplicando à situação:

• $b_1 = 0$ (reta $y = x$)

• $b_2 = 2$ (reta $y = x + 2$)

• $m = 1$
  

$$d = \frac{|2 - 0|}{\sqrt{1^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

4. Resultado final

A distância entre a bissetriz dos quadrantes ímpares $y = x$ e a reta $R: x - y + 2 = 0$ é:

$$\boxed{{\displaystyle \sqrt{2}}}$$