(CA ESA 2024 AOS CFGS 2025 – 26) - QUESTÃO

A ESA terá que elevar a cumeeira do telhado de sua garagem (ponto “C”) para possibilitar a entrada da nova viatura blindada adquirida pelo Exército Brasileiro. Para isso, deverá elevar a cumeeira do telhado da garagem do ponto “C” para o ponto “B”, de modo que a inclinação α do telhado seja dobrada. Sabe-se que: AD = 5m, CD = 1m e CÂD = α. Em quantos metros, aproximadamente, a cumeeira do telhado deverá ser elevada?

Ⓐ 1,02 

Ⓑ 1,08 

Ⓒ 1,15 

Ⓓ 1,18

Ⓔ 1,21 

Da questão dada temos que:

AD = 5m, 

CD = 1m 

CÂD = α

DB = 1 + x 

ACD = triângulo retângulo em D

ABD = triângulo retângulo em D

Logo:

tgα = cateto oposto/cateto adjacente = CD/AD = 1/5

Como a inclinação α do telhado deve ser dobrada, temos:

tg2α = cateto oposto/cateto adjacente = DB/AD = (1 + x)/5

Sabe-se que tg2α = 2tgα/1 − tg²α, assim:

tg2α = 2tgα/1 − tg²α ⇒  2tgα/1 − tg²α = (1 + x)/5

⇒ 5. 2tgα = (1 + x).(1 − tg²α), como tgα = 1/5 temos:

⇒ 5.2.1/5 = (1 + x).(1 − (1/5)²) ⇒ 2 = (1 + x).(24/25) ⇒ 24 + 24x = 50

⇒ 24x = 26 ⇒ x = 26/24 = 1,08 m (Resposta)

Recordando algumas relações trigonométricas:

Identidades de adição de ângulos:

sen(α + β) = sen(α).cos(β) + cos(α).sen(β)

cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)

tg(α + β) = [tg(α) + tg(β)]/1 − tg(α).tg(β)

Funções trigonométricas do arco duplo

sen2x = 2senx.cosx

cos2x = 2cos²x − 1

tg2α = 2tgα/1 − tg²α

Relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo

Seno = cateto oposto/hipotenusa

Cosseno = cateto adjacente/hipotenusa

Tangente =    cateto oposto/cateto adjacente