(VPNE - CFGS/ESA 2026) - QUESTÃO

Sejam A e B pontos distintos da reta de equação x = −3 que distam duas unidades da reta de equação r: x − 2y + 3 = 0. Qual o produto das ordenadas de A e B?

Ⓐ 1

Ⓑ 2

Ⓒ −2.

Ⓓ 5

Ⓔ −5

Os pontos $A$ e $B$ pertencem à reta

$$x=-3.$$

Logo, qualquer ponto dessa reta tem a forma $(-3,y)$.

A distância de um ponto $(x_0,y_0)$ à reta

$$r:\;x-2y+3=0$$

é dada por

$$d=\frac{|x_0-2y_0+3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} =\frac{|x_0-2y_0+3|}{\sqrt5}.$$

Como os pontos estão a distância $2$ da reta $r$, temos

$$\frac{|(-3)-2y+3|}{\sqrt5}=2.$$

Simplificando:

$$\frac{|-2y|}{\sqrt5}=2$$
$$\frac{2|y|}{\sqrt5}=2$$
$$|y|=\sqrt5.$$

Assim, as ordenadas dos pontos são

$$y_1=\sqrt5,\qquad y_2=-\sqrt5.$$

O produto das ordenadas é

$$y_1{y}_2=(\sqrt{5})(-\sqrt{5})=-5.$$