(MACK) - QUESTÃO

As raízes da equação x³ − 7x² + mx − 8 = 0 estão em progressão geométrica. O valor de m é:

Ⓐ 0 

Ⓑ 2 

Ⓒ −2 

Ⓓ 8 

Ⓔ 14

Resolvendo a questão dada temos:

A equação dada é:

$$x^3 - 7x^2 + m x - 8 = 0$$

E sabemos que suas raízes estão em progressão geométrica (P.G.).

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Passo 1: Representar as raízes

Sejam as raízes:

$$a, \, a r, \, a r^2$$

onde $a \neq 0$ e $r \neq 0$ é a razão da P.G.

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Passo 2: Relação entre as raízes e os coeficientes

Para uma equação cúbica $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$, temos:

1. Soma das raízes: $a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2) = 7$ (pois o coeficiente de $x^2$ é $-7$)
   $\Rightarrow a(1 + r + r^2) = 7$
   

2. Soma dos produtos das raízes dois a dois:

$$a \cdot ar + a \cdot ar^2 + ar \cdot ar^2 = a^2 r + a^2 r^2 + a^2 r^3 = a^2 r (1 + r + r^2) = m$$

3. Produto das raízes: $a \cdot ar \cdot ar^2 = a^3 r^3 = (ar)^3 = 8$
   $\Rightarrow ar = 2$ (pois $(ar{)}^3=8\Rightarrow ar=2$

Passo 3: Encontrar $a$ e $r$

De $ar = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{r}$

Também temos:

$$a(1 + r + r^2) = 7 \Rightarrow \frac{2}{r}(1 + r + r^2) = 7$$

Multiplicando ambos os lados por $r$:

$$2(1 + r + r^2) = 7r \Rightarrow 2 + 2r + 2r^2 = 7r \Rightarrow 2r^2 - 5r + 2 = 0$$

Passo 4: Resolver a equação quadrática

$$2r^2 - 5r + 2 = 0$$

Delta: $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$$r = \frac{5 \pm 3}{4} \Rightarrow r_1 = \frac{8}{4} = 2, \quad r_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Passo 5: Encontrar $a$ correspondente

• Se $r = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{r} = 1$ → raízes: $1, 2, 4$
  

• Se $r = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{2}{r} = 4$ → raízes: $4, 2, 1$ (mesmas raízes, apenas invertidas)

Passo 6: Encontrar $m$

$$m = a^2 r (1 + r + r^2)$$

Usando $a = 1$ e $r = 2$:

$$m = 1^2 \cdot 2 \cdot (1 + 2 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$$

Portanto, $m = 14$