(Instituto Consulplan) - QUESTÃO

Para a implementação de um novo sistema nos computadores da Câmara Municipal de Mariana, foi necessário que o técnico de informática realizasse a instalação do programa em todas as máquinas da instituição. Sabendo que a Câmara contava com um total de 252 computadores, ele instalou o programa em cinco máquinas no primeiro dia e, a partir do segundo dia, instalou em duas máquinas a mais que o dia anterior. Observando a estratégia utilizada pelo técnico de informática, quantos dias serão necessários para que ele realize completamente o serviço?

Ⓐ 12.

Ⓑ 14.

Ⓒ 15.

Ⓓ 18.

Ⓔ 22.

Resolvendo a questão dada temos:

O problema descreve uma progressão aritmética (P.A.), onde:

• Primeiro dia: 5 computadores

• Aumento diário: 2 computadores a mais que o dia anterior

Passo 1: Definir a P.A.

Seja $a_1 = 5$ (primeiro dia) e $r = 2$ (razão da P.A.).

O número de computadores instalados no $n$-ésimo dia é:

$$a_n = a_1 + (n-1)r = 5 + (n-1)\cdot 2 = 5 + 2(n-1)$$

Passo 2: Soma total de computadores em $n$ dias

A soma dos primeiros $n$ termos da P.A. é:

$$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$$

Substituindo $a_n = 5 + 2(n-1) = 2n + 3$:

$$S_n = \frac{n}{2} \cdot (5 + (2n + 3)) = \frac{n}{2} \cdot (2n + 8) = n(n + 4)$$

Passo 3: Resolver $S_n = 252$

$$n(n+4) = 252$$
$$n^2 + 4n - 252 = 0$$

Passo 4: Resolver a equação quadrática

$$n = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 1008}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{1024}}{2}$$ $$\sqrt{1024} = 32$$
$$n = \frac{-4 + 32}{2} = \frac{28}{2} = 14$$

O valor negativo não faz sentido, então: 14​