(FGV) - QUESTÃO

Considere um triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8. A tangente do maior ângulo interno deste triângulo mede

Ⓐ √15

Ⓑ 4/3

Ⓒ – √15/16

Ⓓ – 4/3 

Ⓔ – √15

Dados:

Temos um triângulo com lados medindo:

• $a = 4$
  

• $b = 6$
  

• $c = 8$
  

Como $c = 8$ é o maior lado, então o maior ângulo é o ângulo oposto a ele, ou seja, o ângulo $\gamma$, formado pelos lados $a$ e $b$.

Queremos calcular a tangente do maior ângulo interno: $\tan(\gamma)$.

1. Usar a Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$

Substituindo os valores:

$$8^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(\gamma)$$
$$64 = 16 + 36 - 48 \cos(\gamma)$$
$$64 = 52 - 48 \cos(\gamma)$$
$$64 - 52 = -48 \cos(\gamma)$$
$$12 = -48 \cos(\gamma)$$
$$\cos(\gamma) = -\frac{1}{4}$$

2. Calcular $\tan(\gamma)$

Sabemos que:

$$\tan(\gamma) = \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}$$

Mas já temos $\cos(\gamma) = -\frac{1}{4}$. Precisamos de $\sin(\gamma)$.

Usamos a identidade trigonométrica:

$$\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$$
$$\sin^2(\gamma) + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1$$
$$\sin^2(\gamma) + \frac{1}{16} = 1$$
$$\sin^2(\gamma) = \frac{15}{16} \Rightarrow \sin(\gamma) = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

3. Agora calculamos a tangente:

$$\tan(\gamma) = \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}} = -\sqrt{15}$$