(ESA 2025 - CFGS 2026 – 27) - QUESTÃO

O lado de um quadrado mede 4 cm. Unindo os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo quadrado. Unindo os pontos médios do novo quadrado, obtém-se outro quadrado, e assim sucessivamente. Calcule a soma dos perímetros, em centímetros, de todos os quadrados citados:

Ⓐ 16 + 8√2

Ⓑ 16 + 32√2

Ⓒ 32 + 16√2

Ⓓ 64 + 32√2

Ⓔ 8 + 16√2 

Vamos resolver passo a passo esse problema sobre soma dos perímetros dos quadrados formados sucessivamente ao ligar os pontos médios dos lados.

- Primeiro quadrado (inicial):

O lado do quadrado inicial é:

$$L_1 = 4 \text{ cm}$$

O perímetro de um quadrado é:

$$P = 4 \cdot \text{lado} \Rightarrow P_1 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ cm}$$

- Segundo quadrado (unindo os pontos médios):

Quando unimos os pontos médios dos lados de um quadrado, o quadrado resultante está inscrito no anterior, com seus lados em diagonal em relação ao anterior.

Essa nova figura também é um quadrado, mas com lado menor.

Para encontrar o novo lado, observe que, ao unir os pontos médios dos lados de um quadrado de lado $L$, o novo lado $L_2$ será:

$$L_2 = \frac{L}{\sqrt{2}}$$

Então:

$$L_2 = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \Rightarrow P_2 = 4 \cdot L_2 = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$

- Terceiro quadrado:

Aplicamos a mesma lógica:

$$L_3 = \frac{L_2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \Rightarrow P_3 = 4 \cdot 2 = 8$$

- Quarto quadrado:

$$L_4 = \frac{L_3}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow P_4 = 4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

- Quinto quadrado:

$$L_5 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow P_5 = 4 \cdot 1 = 4$$

- Generalizando:

Cada novo quadrado tem lado reduzido por um fator de $\frac{1}{\sqrt{2}}$, e portanto seu perímetro também é multiplicado por $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Então a sequência dos perímetros é uma progressão geométrica:

$$P_1 = 16 \\ P_2 = 8\sqrt{2} \\ P_3 = 8 \\ P_4 = 4\sqrt{2} \\ P_5 = 4 \\ P_6 = 2\sqrt{2} \\ \cdots$$

Vamos dividir essa progressão em duas:

- Perímetros com números racionais:

$$P_{\text{racionais}} = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + \cdots$$

É uma PG com $a_1 = 16$, razão $r = \frac{1}{2}$

Soma da PG infinita:

$$S_1 = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{16}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 32$$

- Perímetros com fatores $\sqrt{2}$:

$$P_{\text{irracionais}} = 8\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + \cdots$$

É uma PG com $a_1 = 8\sqrt{2}$, razão $r = \frac{1}{2}$

Soma da PG infinita:

$$S_2 = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{8\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 16\sqrt{2}$$- Soma total dos perímetros:$$S = S_1 + S_2 = 32 + 16\sqrt{2}$$