(CA ESA 2023 AOS CFGS 2024 – 25) - QUESTÃO

Considerando log2 = t/2, assinale a alternativa que apresenta o valor de x, sabendo que: 

x = log(2/3) + log(3/4) + log(4/5) + ... + log(8/9) + log(9/10)

Ⓐ x = t/2 + 1

Ⓑ x = t/2 − 1

Ⓒ x = t/3 + 1

Ⓓ x = t/3 + 2

Ⓔ x = t/3 − 2

Vamos resolver a expressão:

$$x = \log\left(\frac{2}{3}\right) + \log\left(\frac{3}{4}\right) + \log\left(\frac{4}{5}\right) + \cdots + \log\left(\frac{9}{10}\right)$$

1) Usar propriedade de logaritmos

A soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto:

$$x = \log\left( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \cdots \cdot \frac{9}{10} \right)$$

2) Cancelar termos

Note que muitos termos se cancelam:

$$\frac{2}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{9}} \cdot \frac{\cancel{9}}{10} = \frac{2}{10}$$

Portanto:

$$x = \log\left(\frac{2}{10}\right) = \log\left(\frac{1}{5}\right) = -\log(5)$$

3) Expressar $\log 5$ em função de $t$

Sabemos que:

$$\log 10 = \log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5 \Rightarrow 1 = \log 2 + \log 5 \Rightarrow \log 5 = 1 - \log 2$$

Como dado: $\log 2 = \frac{t}{2}$

Então:

$$\log 5=1-\frac{t}{2}\Rightarrow x=-\log 5=-(1-\frac{t}{2})=\frac{t}{2}-1$$