(URCA) - QUESTÃO

Suponha que 1 - i é raiz da equação x³ + px² + 12x + q = 0 onde p, q∈R. O valor de p + q é:

a) -17
b) -7
c) 7
d) 27
e) 28
 

Se 1−i 1 - i é raiz da equação x³ + px² + 12x + q = 0x3+px2+12x+q=0, então o seu conjugado, 1 + i também será raiz dessa equação.

Substituindo 1 - i em x temos:

(1 - i)³ + p(1 -i)² + 12 (1 - i) + q = 0 

Usando o teorema da expansão binomial para encontrar e simplificar (1 - i)³ ⇒ 1³ - 3.1².i + 3.1.i² - i³

Temos então:

(1 - i)³ + p(1 -i)² + 12 (1 - i) + q = 0 ⇒ 1³ - 3.1².i + 3.1.i² - i³ + p(1 - 2i+ i²) + 12 - 12i + q = 0

⇒ 1 - 3i + 3i² - i³ + p(1 - 2i + i²) + 12 - 12i + q = 0

Como i² = - 1 e i³ = - i, substituiremos:

1 - 3i + 3i² - i³ + p(1 - 2i + i²) + 12 - 12i + q = 0 ⇒ 1 - 3i - 3 + i + p(1 - 2i - 1) + 12 - 12i + q = 0

⇒ -2 - 2i - 2pi + 12 - 12i + q = 0 ⇒ 10 - 14i - 2pi + q = 0 ⇒ q = 14i - 10 + 2pi 

Substituindo 1 + i em x temos:

(1 + i)³ + p(1 + i)² + 12 (1 + i) + q = 0 

Usando o teorema da expansão binomial para encontrar e simplificar (1 + i)³ ⇒ 1³ + 3.1².i + 3.1.i² + i³

Temos então:

(1 + i)³ + p(1 + i)² + 12(1 + i) + q = 0 ⇒ 1³ + 3.1².i + 3.1.i² + i³ + p(1 + 2i + i²) + 12 + 12i + q = 0

⇒ 1 + 3i + 3i² + i³ + p(1 + 2i + i²) + 12 + 12i + q = 0 ⇒ - 2 + 2i + 2pi + 12 + 12i + q = 0 

⇒ 10 + 14i + 2pi + q = 0 

Substituindo o valor de q, temos:

10 + 14i + 2pi + q = 0 ⇒ 10 + 14i + 2pi + (14i - 10 + 2pi) = 0 ⇒ 28i + 4pi = 0 ⇒ 4pi = - 28i ⇒ p = - 7

Calculando o valor de q em q = 14i - 10 + 2pi 

q = 14i - 10 + 2pi ⇒ q = 14i - 10 + 2.(-7).i ⇒ q = - 10

Logo, p + q = - 10 - 7 = - 17