(FUNDATEC 2022) - QUESTÃO

A proposição composta que representa uma tautologia é a que está indicada na alternativa: 

Ⓐ (~p ∧ q) ∨ ~p

Ⓑ ~(p ∧ q) ∨ ~p

Ⓒ ~((p ∧ q) → p)

Ⓓ (p ∧ q) → p 

Ⓔ (p ∧ q) ↔ ~p

Vamos analisar cuidadosamente cada alternativa para identificar qual representa uma tautologia (ou seja, uma proposição sempre verdadeira, independentemente dos valores de verdade de $p$ e $q$).

A) $(\sim p \land q) \lor \sim p$

Podemos usar a distributiva da lógica:

$$(\sim p \land q) \lor \sim p \equiv \sim p \lor (\sim p \land q)$$

Pelo absorption law:

$$\sim p \lor (\sim p \land q) \equiv \sim p$$

Isso não é uma tautologia, porque $\sim p$ é falso se $p$ for verdadeiro. 

- Não é tautologia.

---

B) $\sim(p \land q) \lor \sim p$

Usando a Lei de De Morgan:

$$\sim (p\wedge q)\equiv \sim p\vee \sim q$$

Então:

$$\sim (p\wedge q)\vee \sim p\equiv (\sim p\vee \sim q)\vee \sim p\equiv \sim p\vee \sim q$$

Isso não é sempre verdadeiro, porque se $p = V$ e $q = V$, $\sim p \lor \sim q = F \lor F = F$. 

- Não é tautologia.

---

C) $\sim((p \land q) \rightarrow p)$

Primeiro, reescrevendo a implicação:

$$(p \land q) \rightarrow p \equiv \sim(p \land q) \lor p$$

Então a negação:

$$\sim((p \land q) \rightarrow p) \equiv \sim(\sim(p \land q) \lor p) \equiv (p \land q) \land \sim p$$

Isso não é sempre verdadeiro, porque se $p = F$, toda a expressão é falsa. 

- Não é tautologia.

---

D) $(p \land q) \rightarrow p$

A implicação é falsa somente se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. Aqui:

• Antecedente: $p \land q$
  

• Consequente: $p$
  

Se $p \land q = V$, então $p = V$ (porque ambos devem ser verdadeiros), então a implicação é sempre verdadeira. 

- É uma tautologia.

---

E) $(p \land q) \leftrightarrow \sim p$

Isso só seria verdadeiro se $p \land q$ tivesse o mesmo valor lógico que $\sim p$. Mas se $p = V, q = V$, então $p \land q = V$ e $\sim p = F$. 

- Não é tautologia.