(FGV 2024) - QUESTÃO

Chama-se Tautologia uma proposição composta cujo valor lógico é verdadeiro, independentemente do valor lógico das proposições simples que a compõem.

Dadas as proposições simples p e q, é uma tautologia

Ⓐ q∧~p

Ⓑ p∨~q

Ⓒ (p∧q)→(p∨q)

Ⓓ (p∨q)→(p∧q)

Ⓔ (~p∧q)→(p∨~q)

Vamos analisar cada alternativa lembrando que tautologia é uma proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores de 

$p$ e $q$.

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A) $q ∧ \sim p$

Só é verdadeira quando $q$ for verdadeira e $p$ for falsa.
- Não é sempre verdadeira → não é tautologia.

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B) $p ∨ \sim q$

Pode ser falsa quando:

• $p$ for falsa

• $q$ for verdadeira

Nesse caso: F ∨ F = F
- Não é tautologia.

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C) $(p ∧ q) → (p ∨ q)$

Vamos analisar:

• Se $p ∧ q$ for verdadeiro, então $p$ e $q$ são verdadeiros.
  Logo, $p ∨ q$ também será verdadeiro.

• Se $p ∧ q$ for falso, a implicação já é verdadeira (pois implicação com antecedente falso é verdadeira).

✔ Em todos os casos, a proposição é verdadeira.

- É uma tautologia.

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D) $(p ∨ q) → (p ∧ q)$

Pode ser falsa quando:

• $p ∨ q$ é verdadeiro

• $p ∧ q$ é falso

Exemplo:

• $p = V$, $q = F$

Temos:

• $p ∨ q = V$
  

• $p ∧ q = F$
  

Então: V → F = F

- Não é tautologia.

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E) $(\sim p ∧ q) → (p ∨ \sim q)$

Testando:
Se $p = F$ e $q = V$:

• $\sim p = V$
  

• $\sim p ∧ q = V$
  

• $p ∨ \sim q = F ∨ F = F$
  

Logo:
V → F = F

- Não é tautologia.

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- Resposta correta: $(p ∧ q) → (p ∨ q)$