(CESPE 2023) - QUESTÃO

Assinale a opção cuja proposição lógica representa uma tautologia.

Ⓐ (P → Q) ↔ (~P ˅ Q)

Ⓑ ~(P ˅ Q) ↔ ~P ˅ ~Q

Ⓒ (P ˅ Q) ˅ (R ˄ S) ↔ P ˄ Q ˄ R ˄ S

Ⓓ (P ˄ Q) ˄ R ↔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)

Ⓔ (P ˅ Q) ˅ R ↔ ((P ˄ Q) → R)

Vamos analisar cada alternativa:

A) $(P → Q) ↔ (~P ˅ Q)$
Sabemos que a implicação $P → Q$ é logicamente equivalente a $~P ˅ Q$.
Logo, temos:

$$(P → Q) ↔ (~P ˅ Q)$$

Como os dois lados são equivalentes, a bicondicional é sempre verdadeira.
- É uma tautologia.

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B) $~(P ˅ Q) ↔ ~P ˅ ~Q$
Pela Lei de De Morgan:

$$~(P ˅ Q) ≡ ~P ˄ ~Q$$

Mas na alternativa aparece $~P ˅ ~Q$, que é diferente.
- Não é tautologia.

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C) $(P ˅ Q) ˅ (R ˄ S) ↔ P ˄ Q ˄ R ˄ S$
O lado esquerdo é uma disjunção ampla, enquanto o direito exige que todas sejam verdadeiras.
- Não são equivalentes. Não é tautologia.

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D) $(P ˄ Q) ˄ R ↔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)$
O lado esquerdo é $P ˄ Q ˄ R$.
O lado direito é diferente (não é distributiva correta).
- Não é tautologia.

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E) $(P ˅ Q) ˅ R ↔ ((P ˄ Q) → R)$
$(P ˅ Q) ˅ R = P ˅ Q ˅ R$
$(P ˄ Q) → R ≡ ~(P ˄ Q) ˅ R ≡ ~P ˅ ~Q ˅ R$
Não são equivalentes em todos os casos.
- Não é tautologia.