(UEL-PR) - QUESTÃO

Seja x um número real estritamente positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o comprimento da circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio x centímetros. Nessas condições, é verdade que:

Ⓐ f(x) > g(x) para 0 < x < 2.

Ⓑ f(x) = g(x) para x = 4.

Ⓒ g(x) > f(x) para 0 < x < 1.

Ⓓ f(x) > g(x) para x > 10.

Ⓔ f(x) para qualquer valor de x.

Vamos analisar as funções $f(x)$ e $g(x)$.

1. Função $f(x)$: $f(x)$ é o comprimento da circunferência de raio $x$. A fórmula do comprimento da circunferência é dada por:

   $$f(x) = 2 \pi x$$

   Onde $x$ é o raio da circunferência.

2. Função $g(x)$: $g(x)$ é a área do círculo de raio $x$. A fórmula da área do círculo é dada por:

   $$g(x) = \pi x^2$$

   Onde $x$ é o raio do círculo.

Agora, vamos analisar cada uma das alternativas.

Alternativa A): $f(x) > g(x)$ para $0 < x < 2$.

Vamos comparar $f(x)$ e $g(x)$ para $0 < x < 2$:

$$f(x) = 2 \pi x \quad \text{e} \quad g(x) = \pi x^2$$

Queremos saber quando $2 \pi x > \pi x^2$. Dividindo ambos os lados por $\pi$ (que é positivo), temos:

$$2x > x^2$$

Ou seja, a inequação é:

$$x^2 - 2x < 0$$

Fatorando:

$$x(x - 2) < 0$$

Esta inequação é verdadeira quando $0 < x < 2$, então a alternativa é verdadeira.

Alternativa B): $f(x) = g(x)$ para $x = 4$.

Vamos verificar se $f(x) = g(x)$ para $x = 4$:

$$f(4) = 2 \pi \times 4 = 8 \pi \quad \text{e} \quad g(4) = \pi \times 4^2 = 16 \pi$$

Logo, $f(4) \neq g(4)$, então a alternativa é falsa.

Alternativa C): $g(x) > f(x)$ para $0 < x < 1$.

Vamos comparar $f(x)$ e $g(x)$ para $0 < x < 1$:

Queremos saber quando $\pi x^2 > 2 \pi x$. Dividindo ambos os lados por $\pi$ (que é positivo), temos:

$$x^2 > 2x$$

Ou seja, a inequação é:

$$x^2 - 2x > 0$$

Fatorando:

$$x(x - 2) > 0$$

Essa inequação é verdadeira para $x > 2$ ou $x < 0$, mas como estamos considerando $0 < x < 1$, a inequação não é verdadeira. Logo, a alternativa é falsa.

Alternativa D): $f(x) > g(x)$ para $x > 10$.

Vamos comparar $f(x)$ e $g(x)$ para $x > 10$:

Queremos saber quando $2 \pi x > \pi x^2$. Dividindo ambos os lados por $\pi$ (que é positivo), temos:

$$2x > x^2$$

u seja, a inequação é:

$$x^2 - 2x < 0$$

Já vimos que isso é verdadeiro para $0 < x < 2$, mas não é válido para $x > 10$. Logo, a alternativa é falsa.

Alternativa E): $f(x) > g(x)$ para qualquer valor de $x$.

Como vimos anteriormente, $f(x) > g(x)$ é verdadeiro apenas para $0 < x < 2$, não sendo verdade para todos os valores de $x$. Logo, a alternativa é falsa.