(FRONTE) - QUESTÃO

Sobre as classificações de funções quanto à sua relação entre domínio e contradomínio, analise as afirmações a seguir:

I. Toda função bijetora é, necessariamente, injetora e sobrejetora.

II. Uma função injetora pode não ser sobrejetora, dependendo do contradomínio escolhido.

III. Se uma função é sobrejetora, então ela também é injetora.

IV. Uma função é bijetora somente quando cada elemento do domínio é associado a exatamente um elemento distinto do contradomínio, e todos os elementos do contradomínio são atingidos.

Assinale a alternativa correta:

Ⓐ Apenas as afirmativas I e III estão corretas.

Ⓑ Apenas as afirmativas I, II e IV estão corretas.

Ⓒ Apenas as afirmativas I e IV estão corretas.

Ⓓ Apenas as afirmativas I e III estão corretas.

Ⓔ Todas as afirmativas estão corretas.

Resolvendo temos:

Afirmação I: Verdadeira

Por definição, uma função bijetora é aquela que é injetora (elementos distintos do domínio têm imagens distintas) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio).

Afirmação II: Verdadeira

Exemplo:
Considere $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = e^x$.
Essa função é injetora, mas não é sobrejetora nesse contradomínio, pois nenhum valor de $x$ leva a um resultado negativo ou zero (o contradomínio é todo $\mathbb{R}$, mas a imagem é apenas $(0, +\infty)$.
Se o contradomínio fosse mudado para $(0, +\infty)$, aí ela seria sobrejetora também.

Afirmação III: Falsa

Sobrejetora não implica injetora.
Exemplo:
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, com $f(x) = x^3 - x$.
Essa função pode ser sobrejetora (atinge todos os valores reais), mas não é injetora, pois não é estritamente crescente ou decrescente.

Afirmação IV: Verdadeira

Isso descreve exatamente o que é uma função bijetora:

• Cada elemento do domínio vai para um único elemento distinto do contradomínio → injeção.

• Todos os elementos do contradomínio são atingidos → sobreejeção.

- Gabarito: As afirmações I, II e IV estão corretas. A III está errada.