(VPNE CFGS/ESA) - QUESTÃO

As retas r e s, de equações 2x + 3y – 6 = 0 e 2x + 3y – 10 = 0, respectivamente, são paralelas. Calcular a distância entre as retas r e s.

Ⓐ √13

Ⓑ 12√2

Ⓒ 15√3

Ⓓ 4√13/13

Ⓔ 13√5

Dadas as equações r: 2x + 3y – 6 = 0 e s: 2x + 3y – 10 = 0

Como as retas são paralelas, então a distância entre as duas é igual à distância entre um ponto P qualquer de uma delas e a outra.

1) Cálculo do ponto P qualquer da reta r:

2x + 3y – 6 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ 3y – 6 = 0 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2

Logo P(0, 2)

2) Cálculo da distância entre P e s:

Dada a reta s: 2x + 3y – 10 = 0,  temos: a = 2, b = 3 e c = – 10

d(P, s) = |a.xp + b.yp + c|/√(a² + b²) ⇒ d(P, s) = |2.0 + 3.2 – 10|/√(2² + 3²) ⇒ |– 4|/√13

⇒ d(P, s) = 4√13/13  

Logo a distância entre r e s é igual a  4√13/13

Temos ainda que a distância entre r e s paralelas é dada por:

d(r, s) = |cr – cs|/√(a² + b²)

⇒ d(r, s) = |cr – cs|/√(a² + b²) ⇒ d(r, s) = |–6 + 10|/√(2² + 3²) ⇒ d(r, s) = 4/√13

⇒ d(r, s) = 4√13/13