(AMEOSC) - QUESTÃO

Conforme o princípio do binômio de Newton, é possível observar certos padrões ao expandir a potência de um binômio. Esses padrões facilitam a determinação de todos os termos da expansão. Ao expandir o binômio (x + y)⁶, é possível encontrar um termo em que x e y possuem o mesmo expoente. Qual o valor do coeficiente desse termo? 

Ⓐ 20.

Ⓑ 30.

Ⓒ 15.

Ⓓ 10.

Ⓔ 5.

Resolvendo temos o binômio dado:

$$(x + y)^6$$

Pelo princípio do binômio de Newton, o $k$-ésimo termo da expansão é:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$

Aqui, $n = 6$. Queremos o termo em que x e y têm o mesmo expoente, ou seja:

$$n - k = k \implies 6 - k = k \implies 6 = 2k \implies k = 3$$

O coeficiente desse termo é o coeficiente binomial correspondente a $k=3$:

$$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{720}{6 \cdot 6} = \frac{720}{36} = 20$$

Portanto, o coeficiente é 20.