A figura abaixo ilustra a propriedade refletora da hipérbole. Se um raio partir de um ponto A e seguir em direção a F₂, então ele é refletido pela hipérbole, no ponto P, e segue em direção a F₁.
Considere a hipérbole 4x² − 5y² = 20 de focos F₁ e F₂, com F₁ à esquerda de F₂. Qual das retas abaixo dá a direção do raio que deve partir do ponto A (1, 3) para ser refletido no ramo da direita da hipérbole e caminhar em direção a F₁?
Ⓐ 3𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0
Ⓑ 2𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
Ⓒ 𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
Ⓓ 2𝑥 − 𝑦 + 7 = 0
Ⓔ 𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0
- Hipérbole com o eixo real sobre o eixo x e centro na origem tem o seguinte gráfico:
Dada a equação da hipérbole: 4x² − 5y² = 20
(x²/a²) − (y²/b²) = 1
Escrevendo a equação na forma padrão, dividindo todos os seus termos por 20, temos:
4x² − 5y² = 20 ⇒ (x²/5) − (y²/4) = 1
a² = 5 ⇒ a = √5
b² = 4 ⇒ b = 2
Por pitágoras temos:
c² = a² + b²
c² = (√5)² + 2² ⇒ c² = 9 ⇒ c = 3
Para as coordenadas dos focos:
F₁ = (−3; 0)
F₂ = (3; 0)
Encontrando a reta suporte de AF2:
Sabe-se que: A (1, 3) e F₂ = (3; 0)
Dados dois pontos temos que: r: (x − x1).(y2 − y1) = (x2 − x1).(y − y1)
(x − 1).(0 − 3) = (3 − 1).(y − 3) ⇒ − 3x + 3 = 3y − 9 − y + 3 ⇒ 3x + 2y − 9 = 0
IMPORTANTE: uma outra possibilidade seria testar as coordenadas do ponto A em cada uma das alternativas, dado que este ponto deve pertencer à reta solicitada. Fazendo a substituição das coordenadas, chegaremos ao mesmo gabarito.
#ESA 2025
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