(AVANÇASP) - QUESTÃO

Dada a função do segundo grau: f(x) = x² + 2x + 2, a equação da reta que passa pelo ponto de extremo (máximo/mínimo) e pelo ponto de cruzamento de f(x) com o eixo das ordenadas é:

Ⓐ x – 1.

Ⓑ x + 2.

Ⓒ –x + 1.

Ⓓ –x + 2.

Ⓔ 2x + 2.

A função dada é:

$$f(x) = x^2 + 2x + 2$$

Passo 1: Encontrar o ponto de extremo

Para encontrar o ponto de extremo (máximo ou mínimo) de uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$, usamos a fórmula do vértice:

$$x_{\text{vértice}} = \frac{-b}{2a}$$

Aqui, temos $a = 1$, $b = 2$ e $c = 2$. Então, o valor de $x$ no vértice é:

$$x_{\text{v}\acute{\text{e}}\text{rtice}}=\frac{-2}{2(1)}=-1$$

Agora, substituímos $x = -1$ na função para encontrar o valor de $y$ no vértice:

$$f(-1)=(-1{)}^2+2(-1)+2=1-2+2=1$$

Logo, o ponto de extremo é $(-1, 1)$.

Passo 2: Encontrar o ponto de cruzamento com o eixo das ordenadas

O ponto de cruzamento com o eixo das ordenadas ocorre quando $x = 0$. Substituímos $x = 0$ na função $f(x)$:

$$f(0)=0^2+2(0)+2=2$$

Logo, o ponto de cruzamento com o eixo das ordenadas é $(0, 2)$.

Passo 3: Determinar a equação da reta

Agora, queremos a equação da reta que passa pelos pontos $(-1, 1)$ e $(0, 2)$. Para isso, usamos a fórmula da equação da reta, $y = mx + b$, onde $m$ é o coeficiente angular (a inclinação) e $b$ é o coeficiente linear.

Primeiro, calculamos a inclinação $m$:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{0 - (-1)} = \frac{1}{1} = 1$$

Agora, substituímos $m = 1$ e o ponto $(0, 2)$ na equação da reta $y = mx + b$:

$$2=1(0)+b\Rightarrow b=2$$

Portanto, a equação da reta é:

$$y=x+2$$

Passo 4: Concluir

A equação da reta que passa pelos pontos $(-1, 1)$ e $(0, 2)$ é $y = x + 2$.

Logo, a alternativa correta é a B) $x + 2$