(UFAL) - QUESTÃO

Em um trecho da estrada, em uma viagem de Maceió para Penedo, pode-se modelar por uma parábola que fornece a altura h, em relação ao nível do mar, em metros, em função do tempo t, em segundos, pela função h(t) = −t² + 20t + 54. Sendo assim, em qual intervalo de tempo, a altura será maior que 90 metros?

Ⓐ 1 <  t < 19

Ⓑ 2 <  t < 18

Ⓒ 3 <  t < 17

Ⓓ 4 <  t < 16

Ⓔ 5 < t < 15

Resolvendo temos:

$$h(t) = -t^2 + 20t + 54$$

Queremos encontrar o intervalo de tempo em que a altura é maior que 90 metros, ou seja:

$$h(t) > 90$$

1. Resolver a inequação:

$$-t^2 + 20t + 54 > 90$$

Subtraímos 90 dos dois lados:

$$-t^2 + 20t + 54 - 90 > 0$$
$$-t^2 + 20t - 36 > 0$$

Multiplicamos a inequação por -1 (invertendo o sinal da desigualdade):

$$t^2 - 20t + 36 < 0$$

2. Resolver a inequação quadrática:

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação:

$$t^2 - 20t + 36 = 0$$

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$\Delta = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256$$
$$t = \frac{-(-20) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 16}{2}$$ $$t_1 = \frac{20 - 16}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{20 + 16}{2} = 18$$

3. Analisar o sinal da inequação

A inequação $t^2 - 20t + 36 < 0$ será verdadeira entre as raízes da parábola, ou seja:

$$2<t<18$$