(FUNDATEC) - QUESTÃO

O lucro de produção e venda de uma determinada empresa é dado pela função 𝐿(𝑥) = −𝑥² + 42𝑥 − 160, em que L(x) é o lucro obtido, em milhares de reais, após a produção e a venda de x unidades do item produzido. Isso posto, a quantidade de itens que a empresa deve produzir e vender para obter lucro máximo e o respectivo lucro máximo obtido são:

Ⓐ 20 itens – R$ 280.000,00.

Ⓑ 21 itens – R$ 281.000,00.

Ⓒ 22 itens – R$ 282.000,00.

Ⓓ 281 itens – R$ 21.000,00.

Ⓔ 282 itens – R$ 22.000,00.

Temos a função do lucro dada por:

$$L(x) = -x^2 + 42x - 160$$

Essa é uma função quadrática do tipo:

$$L(x) = ax^2 + bx + c$$

Com:

• $a = -1$
  

• $b = 42$
  

• $c = -160$

Passo 1: Determinar a quantidade de itens para lucro máximo

Como $a < 0$, a parábola tem concavidade voltada para baixo, e o lucro máximo ocorre no vértice da parábola.

A fórmula da abscissa do vértice é:

$$x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-42}{2\cdot (-1)}=\frac{-42}{-2}=21$$

Portanto, a quantidade de itens para obter o lucro máximo é:

$$x = 21 \text{ itens}$$

Passo 2: Determinar o lucro máximo

Substituímos $x = 21$ na função $L(x)$:

$$L(21)=-(21{)}^2+42\cdot 21-160=-441+882-160=441-160=281$$

Como o lucro está em milhares de reais, isso corresponde a:

$$281\times 1.000=R\mathrm{\$}281.000,00$$