(COPESE-UFT) - QUESTÃO

Encontre o conjunto solução para a seguinte equação modular: |x|² + 2|x| – 15 = 0.

Ⓐ { 3, – 3}

Ⓑ { 3, – 5}

Ⓒ {– 5, –3, 3}

Ⓓ {– 5, – 3, 3, 5}

Ⓔ ∅

Vamos resolver a equação modular $|x|^2 + 2|x| - 15 = 0$.

1. Substituindo $|x|$ por $y$:
   Sabemos que $|x| \geq 0$ para todo $x$, então podemos substituir $|x|$ por $y$, onde $y = |x|$. Com isso, a equação se torna:

   $$y^2+2y-15=0$$

2. Resolvendo a equação quadrática:
   A equação $y^2 + 2y - 15 = 0$ é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Onde, para nossa equação $y^2 + 2y - 15 = 0$, temos:

   • $a = 1$
     

   • $b = 2$
     

   • $c = -15$
     

   Substituindo na fórmula:

   $$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$$ $$y = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$y = \frac{-2 \pm 8}{2}$$

   Agora, temos duas soluções possíveis para $y$:

   $$y = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
   $$y = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$
   

3. Considerando que $y = |x| \geq 0$:
   A solução $y = -5$ não é válida, pois o módulo de um número não pode ser negativo. Portanto, a única solução válida é $y = 3$.

4. Voltando à variável $x$:
   Como $|x| = 3$, temos duas possibilidades para $x$:

   $$x=3\text{ou}x=-3$$

Portanto, o conjunto solução é $\{3, -3\}$.